Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh: SAMN = sin2B.sin2C.SABC
*Chú ý: Tỉ số diện tích của tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. ( xem cách chứng minh
tại đây)
[tex]\Delta AMN\sim \Delta ACB(g-g)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\\\Rightarrow \frac{AM^2}{AC^2}=\frac{AN^2}{AB^2}=\frac{AM.AN}{AC.AB}\\\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM.AN}{AB.AC}[/tex]
Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
[tex]AH^{2}=AM.AB=AN.AC\Rightarrow AM=\frac{AH^2}{AB};AN=\frac{AH^2}{AC}[/tex]
Suy ra [tex]\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM.AN}{AB.AC}=\frac{\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}}{AB.AC}=\frac{AH^4}{AB^2.AC^2}=\frac{AH^2}{AB^2}.\frac{AH^2}{AC^2}=\sin ^{2}B.\sin ^{2}C\\\Leftrightarrow S_{AMN}=\sin ^{2}B.\sin ^{2}C.S_{ABC}(dpcm)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
