Giả sử 2 phương trình (1), (2) có nghiệm nguyên chung $(x_{0};y_{0})$
Khi đó, ta có:
[tex](a^3+a)x_{0}+a^2y_{0}+a^4+1=0(3)[/tex]
[tex](b^3+b)x_{0}+b^2y_{0}+b^4+1=0(4)[/tex]
[tex](3)\Leftrightarrow (a+\frac{1}{a})x_{0}+y_{0}+a^2+\frac{1}{a^2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+\frac{1}{a})^2+(a+\frac{1}{a})x_{0}+y_0-2=0[/tex]
[tex](4)\Leftrightarrow (b+\frac{1}{b})x_{0}+y_{0}+b^2+\frac{1}{b^2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (b+\frac{1}{b})^2+(b+\frac{1}{b})x_{0}+y_0-2=0[/tex]
Do đó, $t_{1}= a+\frac{1}{a},t_{2}= b+\frac{1}{b}$ là 2 nghiệm của phương trình
$t^2+tx_0+y_0-2=0$
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}=-x_0\\ \left (a+\frac{1}{a} \right )\left (b+\frac{1}{b} \right )=y_0-2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+\frac{a+b}{ab}=-x_0\\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+ab+\frac{1}{ab}=y_0-2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(1+\frac{1}{3})=-x_0\\ \frac{a^2+b^2}{3}+3+\frac{1}{3}=y_0-2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=-\frac{3}{4}x_0 \\a^2+b^2+10=3y_0-6 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+2ab=\frac{9}{16}{x_{0}}^{2}\\ a^2+b^2=3y_0-16 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=\frac{9}{16}{x_{0}}^{2}-6\\ a^2+b^2=3y_0-16 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{9}{16}{x_{0}}^{2}-6=3y_0-16[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 9{x_{0}}^{2}=3y_0-160 [/tex]
VT chia hết cho 3; VP không chia hết cho 3
$\Rightarrow$ Vô lí
Như vậy, 2 phương trình (1),(2) không có nghiệm nguyên chung
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
