Toán 7 Chứng minh rằng

[huyenhuyen5a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng tỏ rằng : S = 1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ...... + 99^2 - 100^2 + 101^2 là một số dương có bốn chữ số mà hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối .
Các bạn ơi giúp mình với

 

[7 1 2 5]

Ta thấy: [tex]1^3=1[/tex]
[tex]2^3=(1+1)^3=1^3+3.1^2+3.1+1[/tex]
[tex]3^3=(2+1)^3=2^3+3.2^2+3.2+1[/tex]
....
[tex](x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1[/tex]
Cộng vế theo vế ta có:
[tex]1^3+2^3+...+(x+1)^3=1^3+2^3+...+x^3+3(1^2+2^2+...+x^2)+3(1+2+...+x)+x+1\Rightarrow (x+1)^3=3(1^2+2^2+...+x^2)+3.\frac{x(x+1)}{2}+x+1\Rightarrow 3(1^2+2^2+...+x^2)=(x+1)^3-(x+1)-\frac{3}{2}x(x+1)=(x+1)(x^2+2x+1-1-\frac{3}{2}x)=(x+1)(x^2+\frac{1}{2}x)=\frac{1}{2}x(x+1)(2x+1)\Rightarrow 1^2+2^2+...+x^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}[/tex]
Quay lại bài toán. Ta thấy:
[tex]S = 1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ...... + 99^2 - 100^2 + 101^2=(1^2+2^2+...+101^2)-2(2^2+4^2+...+100^2)=\frac{101.102.203}{6}-8(1^2+2^2+...+50^2)=\frac{101.102.203}{6}-8.\frac{50.51.101}{6}=101(17.203-8.25.17)\vdots 101[/tex]
Ta thấy: [tex]10< 17.203-8.25.17=17(203-200)=17.3< 99\Rightarrow 1000< S< 9999\Rightarrow[/tex] S có 4 chữ số
Mà S chia hết cho 101 nên S có 2 chữ số đầu giống 2 chữ số cuối.