Toán 9 chứng minh rằng

[Phuocloi1998vn@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1
chứng minh [tex]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq 1[/tex]

 

[Ngoc Anhs]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1
chứng minh [tex]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq 1[/tex](1)

Nhân 2 vế của BĐT(1) với -2 và cộng 2 vế với 3 ta được:
[tex]\frac{a}{2+a}+\frac{b}{2+b}+\frac{c}{2+c}\geq 1[/tex]
Đặt a=x/y , b=y/z , c=z/x (x,y,z >0)
Ta được bất đẳng thức [tex]\frac{x}{2y+x}+\frac{y}{2z+y}+\frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2xy+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2yz+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2xz+z^{2}}\geq 1[/tex]
Áp dụng BĐT: [tex]\frac{d^{2}}{m}+\frac{e^{2}}{n}+\frac{f^{2}}{p}\geq \frac{(d+e+f)^{2}}{m+n+p}(m,n,p> 0)[/tex]
Nên ta đc: [tex]\frac{x^{2}}{2xy+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2yz+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2xz+z^{2}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2xy+x^{2}+2yz+y^{2}+2xz+z^{2}}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}}=1(dpcm)[/tex]
Vậy [tex]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq 1[/tex]. Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

 

[ankhongu]

Nhân 2 vế của BĐT(1) với -2 và cộng 2 vế với 3 ta được:
[tex]\frac{a}{2+a}+\frac{b}{2+b}+\frac{c}{2+c}\geq 1[/tex]
Đặt a=x/y , b=y/z , c=z/x (x,y,z >0)
Ta được bất đẳng thức [tex]\frac{x}{2y+x}+\frac{y}{2z+y}+\frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2xy+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2yz+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2xz+z^{2}}\geq 1[/tex]
Áp dụng BĐT: [tex]\frac{d^{2}}{m}+\frac{e^{2}}{n}+\frac{f^{2}}{p}\geq \frac{(d+e+f)^{2}}{m+n+p}(m,n,p> 0)[/tex]
Nên ta đc: [tex]\frac{x^{2}}{2xy+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2yz+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2xz+z^{2}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2xy+x^{2}+2yz+y^{2}+2xz+z^{2}}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}}=1(dpcm)[/tex]
Vậy [tex]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq 1[/tex]. Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Cho em hỏi có cơ sở gì cho việc đặt Đặt a=x/y , b=y/z , c=z/x (x,y,z >0) không thế ạ ?

 

[Ngoc Anhs]

Cho em hỏi có cơ sở gì cho việc đặt Đặt a=x/y , b=y/z , c=z/x (x,y,z >0) không thế ạ ?

Tùy từng trường hợp sẽ có cách giải khác nhau thôi!
Bài này còn cách khác nhưng hơi khó hiểu, bỏ qua luôn