Toán 9 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n> 2$ ta có $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}< 3$

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên [tex]n> 2[/tex] ta có [tex]\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}< 3[/tex]

 

[Ann Lee]

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên [tex]n> 2[/tex] ta có [tex]\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}< 3[/tex]

[tex]\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{n}}}}}\\=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}}}\\<\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-1)\sqrt{n^2}}}}}}\\=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-1)n}}}}}\\=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-2)\sqrt{(n-1)n}}}}}}[/tex]
[tex]<\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{..\sqrt{(n-2)\sqrt{n^2}}}}}}\\=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-3)\sqrt{(n-2)n}}}}}}\\<\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-3)\sqrt{(n-1)^2}}}}}}\\=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-3)(n-1)}}}}}\\<...\\=...\\<...\\=...\\<\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4.6}}}\\<\sqrt{2\sqrt{3.5}}<\sqrt{2.4}<3(dpcm)[/tex]