Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng [tex]1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}+(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})^2+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})^2+...+\frac{1}{n^2}[/tex] luôn là số nguyên.
Dễ thấy n = 1, n = 2 thỏa mãn. Giả sử điều trên đúng tới n = k.
Ta sẽ chứng minh n = k + 1 cũng đúng.
Thật vậy, đặt [tex]A=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}+(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k})^2+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k})^2+...+\frac{1}{k^2},B=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k+1}+(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k+1})^2+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k+1})^2+...+\frac{1}{(k+1)^2}[/tex]
[tex]\Rightarrow B-A=\frac{1}{k+1}+(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k+1})^2-(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k})^2+(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k+1})^2-(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k})^2+...+(\frac{1}{k+1})^2-(\frac{1}{k})^2=\frac{1}{k+1}+\frac{2}{k+1}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k})+\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{2}{k+1}(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k})+\frac{1}{(k+1)^2}+...+\frac{2}{k+1}.\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{(k+1)^2}=\frac{1}{k+1}+(k+1).\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{2}{k+1}(1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{3}.3+...+\frac{1}{k}.k)=\frac{2}{k+1}+\frac{2k}{k+1}=2\Rightarrow B=A+2\Rightarrow B\in \mathbb{N}[/tex]
Vậy mệnh đề đúng với mọi n nguyên dương. Thay n = 2020 ta có đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
