Toán 9 Chứng minh rằng [tex]\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=xyz[/tex].
Chứng minh rằng: [tex]\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

 

[kido2006]

Cho các số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=xyz[/tex].
Chứng minh rằng: [tex]\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Có [tex]x+y+z=xyz\Rightarrow 1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}})^2}{3 }\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\leq \sqrt{3}[/tex]
[tex]VT=\sum \frac{x}{x^2+yz}\leq \sum \frac{x}{2x\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})[/tex][tex]\leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] (đpcm)