Toán Chứng minh rằng: [tex]\frac{-8}{3}\leq x;y;z\leq \frac{8}{3}[/tex]

[trunghieule2807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là nghiệm của hệ phương trình:

[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \\ xy+yz+xz=4 \end{matrix}\right.[/tex]

Chứng minh rằng: [tex]\frac{-8}{3}\leq x;y;z\leq \frac{8}{3}[/tex] ( Chứng minh x,y,z từng cái một)

 

[Dương Bii]

Cho x,y,z là nghiệm của hệ phương trình:

[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \\ xy+yz+xz=4 \end{matrix}\right.[/tex]

Chứng minh rằng: [tex]\frac{-8}{3}\leq x;y;z\leq \frac{8}{3}[/tex] ( Chứng minh x,y,z từng cái một)

Giả thiết $x^2+y^2+z^2=8 \Leftrightarrow \sum x^2 +2\sum xy =8+2.4=16 \Leftrightarrow (\sum x)^2=16 \Leftrightarrow \sum x = -4$ hoac $\sum x = -4$
TH1. $x+y+z=-4$ va $xy+z(x+y)=4 \Leftrightarrow x+y=-4-z$ va $xy =4-z(-4-z)=(z+2)^2$ Ta co BDT $(x+y)^2 \geq 4xy \Leftrightarrow (4+z)^2 \geq (z+2)^2
\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{8}{3} (1)$
TH2. $x+y+z=4$ tuong tu $\Rightarrow \frac{-8}{3}\leq x\leq 0 (2)$
Tu $(1)$ va $(2) \Rightarrow \frac{-8}{3}\leq x\leq \frac{8}{3}$.