Toán 9 Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq -2[/tex]

[Huỳnh Xuan Meo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq -2[/tex] biết [tex]x^{3} + y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x+y)+4 =0[/tex] và x.y > 0

 

[hdiemht]

CMR: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq -2[/tex] biết [tex]x^{3} + y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x+y)+4 =0[/tex] và x.y > 0

Bài này đập vào mắt là thấy xuất hiện hằng đẳng thức rồi nè!
[tex]x^{3} + y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x+y)+4 =0\Leftrightarrow (x^3+3x^2+3x+1)+(y^3+3y^2+3y+1)+(x+y)+2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+1)^3+(y+1)^3+(x+y+2)=0\Leftrightarrow (x+y+2)^3-3(x+1)(y+1)(x+y+2)+(x+y+2)=0\Leftrightarrow (x+y+2)[(x+y+2)^2-3(x+1)(y+1)+1]=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+2)[(x+1)^2-(x+1)(y+1)+(y+1)^2+1]=0[/tex]
[tex]\Rightarrow x+y+2=0[/tex] (Vì $[....] >0$)
[tex]\Leftrightarrow x+y=-2[/tex]
Ta có: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}[/tex]
Lại có: [tex]xy\leq \frac{1}{4}(x+y)^2=1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy} \leq\frac{-2}{1}=-2[/tex]
Vậy [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq -2[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: $x=y=-1$

 

[Huỳnh Xuan Meo]

Chị ơi có thể giải thích rõ chỗ này được không ạ?
Tại sao [tex](x+1)^3+(y+1)^3+(x+y+2)=0 \Leftrightarrow (x+y+2)^3-3(x+1)(y+1)(x+y+2)+(x+y+2)=0[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

Chị ơi có thể giải thích rõ chỗ này được không ạ?
Tại sao [tex](x+1)^3+(y+1)^3+(x+y+2)=0 \Leftrightarrow (x+y+2)^3-3(x+1)(y+1)(x+y+2)+(x+y+2)=0[/tex]

dạ chị dùng cái này ạ
[tex]a^3+b^3= (a+b)^3-3ab(a+b)[/tex]