Toán 9 Chứng minh rằng S(ABC) + S(ABD) = S(ABKH).

[perfectstrong4567]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R cố định và một dây CD thay đổi sao cho CD = m (B và D khác phía đối với AC; m > 0 cho trước). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên CD.
1. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến CD không đổi khi dây CD thay đổi và DH = CK.
2. Tìm vị trí của dây CD để đoạn thẳng HK có độ dài lớn nhất.
3. Chứng minh rằng S(ABC) + S(ABD) = S(ABKH).
Các anh chị giải giúp em bài này với ạ, em cảm ơn nhiều ạ!!!

 

[7 1 2 5]

1. Vẽ OI vuông với CD thì [tex]OI=\sqrt{OC^2-CI^2}=\sqrt{R^2-\frac{m^2}{4}}[/tex] không đổi.
Lại có O là trung điểm AB, [TEX]OI//CH//BK[/TEX] nên OI là đường trung bình hình thang [TEX]AHKB[/TEX]. Từ đó [TEX]KI=IH[/TEX].
Mà [TEX]DI=IC[/TEX] nên [TEX]DH=CK[/TEX]
2. Vẽ [TEX]AJ//HK(J \in BK)[/TEX] thì [TEX]AJKH[/TEX] là hình chữ nhật nên [TEX]HK=AJ \leq AB[/TEX]
Dấu " = " xảy ra khi HK // AB hay DC // AB.
3. Vẽ [TEX]DX,CY,IE[/TEX] vuông góc với AB.
Ta thấy nếu HK // AB thì điều phải chứng minh hiển nhiên. Xét HK không song song với AB.
Kéo dài [TEX]HK[/TEX] cắt [TEX]AB[/TEX] tại F thì [TEX]\widehat{EIO}=\widehat{BFK} \Rightarrow \Delta EIO \sim \Delta KFB \Rightarrow \frac{EI}{IO}=\frac{KF}{FB}=\frac{HK}{BA} \Rightarrow EI.AB=HK.IO \Rightarrow \frac{1}{2}(AH+BK)HK=\frac{1}{2}(DX+CY)AB \Rightarrow S_{ABHK}=S_{ADB}+S_{ACB}[/TEX]