Toán 9 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm nguyên

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm nguyên với n nguyên dương
[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=18^n[/tex]


Help me!!
@Mộc Nhãn

 

[7 1 2 5]

Với n = 0 ta có bộ nghiệm [tex](x,y,z)=(0,0,1)[/tex] và các hoán vị.
Với n = 1 ta có bộ nghiệm [tex](x,y,z)=(1,2,3)[/tex] và các hoán vị.
Với n = 2 ta có bộ nghiệm [tex](x,y,z)=(1,1,7)[/tex] và các hoán vị.
Xét [TEX]n=3k+r(k \geq 0)[/TEX]
+ [tex]r=0\Rightarrow (x,y,z)=(0,0,18^k)[/tex] thỏa mãn.
+ [tex]r=1\Rightarrow (x,y,z)=(18^k,2.18^k,3.18^k)[/tex] thỏa mãn.
+ [tex]r=2\Rightarrow (x,y,z)=(18^k,18^k,7.18^k)[/tex] thỏa mãn.
Từ đó với mọi n nguyên không âm thì phương trình luôn có nghiệm nguyên.
(Ý tưởng: Nếu ta đặt [TEX]gcd(x,y,z)=d; x=d.x_1; y=d.y_1; z=d.z_1[/TEX] thì từ [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=d^3(x_1^3+y_1^3+z_1^3-3x_1y_1z_1)[/tex]. Từ đó ta chỉ cần xét n = 0, n = 1, n = 2)