Toán 10 Chứng minh rằng một số nguyên tố tùy ý có dạng

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng một số nguyên tố tùy ý có dạng [imath]2^{2^n}+1 (n\in \mathbb{N})[/imath] không thể biểu diễn được dưới dạng hiệu các lũy thừa bậc 5 của hai số tự nhiên​

Mong mọi người giúp đỡ!!!!!!!

 

[kido2006]

Giả sử tồn tại số tự nhiên [imath]a,b,k[/imath] thỏa mãn [imath]2^{2^{k}}+1=a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)[/imath]
Do [imath]a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4 >a-b[/imath]
Và [imath]2^{2^{k}}+1[/imath] là số nguyên tố
[imath]\Rightarrow a-b=1\Rightarrow a=1+b[/imath]
[imath]\Rightarrow 2^{2^{k}}+1=(1+b)^5-b^5=5b^4+10b^3+10b^2+5b+1[/imath]
[imath] \Rightarrow 2^{2^{k}}=5b^4+10b^3+10b^2+5b\vdots 5 [/imath] (Vô lí)
Do đó giả sử sai và ta được đpcm

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG