Cho $a,b,c >0$ và thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng $\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ac}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{3}{4}$
Theo BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{a^2+a^2+b^2+c^2}\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}[/tex]
Mặt khác theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
[tex][(a^2+b^2)+(a^2+c^2)]\left ( \frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2} \right )\geq (b+c)^2\\\Rightarrow \frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}[/tex]
Suy ra [tex]\frac{bc}{a^2+1}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2} \right )[/tex]
Tương tự....
Cộng vế với vế các BĐT vừa tạo ta được
[tex]\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ac}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2} \right )=\frac{3}{4}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
