Toán 9 Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}\leq a;b;c\leq 3$

[toan1233082004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện
$a^2+b^2+c^2=11; ab+bc+ac=7$
Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}\leq a;b;c\leq 3$

 

[hdiemht]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện
a^2+b^2+c^2=11
ab+bc+ac=7
Chứng minh rằng 1/3<=a,b,c<=3

Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=11 & & \\ 2(ab+bc+ac)=14 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (a+b+c)^2=25\Rightarrow a+b+c=5[/tex] (Vì $a;b;c>0$)
[tex]a+b+c=5\Rightarrow b+c=5-a;bc=7-a(b+c)=7-a(5-a)=a^2-5a+7[/tex]
Áp dụng $BDT$ $(b+c)^2$[tex]\geq 4bc[/tex] , ta được:
[tex](5-a)^2\geq 4(a^2-5a+7)\Leftrightarrow 25-10a+a^2\geq 4a^2-20a+28\Leftrightarrow 3a^2-10a+3\leq 0\Leftrightarrow 3a^2-9a-a+3\leq 0\Leftrightarrow (a-3)(3a-1)\leq 0\Rightarrow \frac{1}{3}\leq a\leq 3[/tex]
Chứng minh tương tự đối với $b;c$.
Vậy [tex]\frac{1}{3}\leq a;b;c\leq 3[/tex]