Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau là sai:

D

de_3_lo

đề phải cho là >0

giả sử cả 3 bđt đều đúng

nhân 3 từng vế của 3 bđt ta có:

$a^{10}b^6c^{14}(a-c)^6(c-b)^4(a-b)^6(c-a)^7(a-c)^7(a-b)^3(b-a)^3(b-c)^5(c-b)^5 >0$$(a,b,c \not= 0;a,b,c$ đôi một $\not= $ nhau)

$\Leftrightarrow (c-a)^7(a-c)^7(a-b)^3(b-a)^3(b-c)^5(c-b)^5 >0 \ (1)$

Mà $(c-a)(a-c)=-(a-c)^2<0 \Rightarrow (c-a)^7(a-c)^7<0$

Tương tự $\begin{cases}(a-b)^3(b-a)^3<0 \\(b-c)^5(c-b)^5 <0\end{cases}$

$\Rightarrow (c-a)^7(a-c)^7(a-b)^3(b-a)^3(b-c)^5(c-b)^5 <0 \ (2)$

(1) và (2) mâu thuẫn nên có ít nhất 1 bdt trong 3 bđt đã cho là sai
 
C

conbaodn

Giả sử 3 BĐT trên đúng và a<b<c ta có:
$a^3b^5(c−a)^7(c−b)^9.bc^5(a-b)^9.(a-c)^{13}.c^9a^7(b-c)^5(b-a)^3<0$
\Leftrightarrow $a^{10}b^6c^{14}(c-a)^7(c-b)^9(a-b)^9(a-c)^{13}(b-c)^5(b-a)^3<0$
Vì $a^{10}b^6c^{14}>0$
\Rightarrow $(c-a)^7(c-b)^9(a-b)^9(a-c)^{13}(b-c)^5(b-a)^3<0$
Vì $a<b<c$ \Rightarrow $c-a>0;c-b>0;a-b<0;a-c<0;b-c<0;b-a>0$
\Rightarrow $(c-a)^7(c-b)^9(a-b)^9(a-c)^{13}(b-c)^5(b-a)^3<0$
Vì điều trên thỏa mãn $a^3b^5(c−a)^7(c−b)^9.bc^5(a-b)^9.(a-c)^{13}.c^9a^7(b-c)^5(b-a)^3<0$
Nên đề sai
 
D

de_3_lo

conbaodn said:
Giả sử 3 BĐT trên đúng và a<b<c ta có:
$a^3b^5(c−a)^7(c−b)^9.bc^5(a-b)^9.(a-c)^{13}.c^9a^7(b-c)^5(b-a)^3<0$
\Leftrightarrow $a^{10}b^6c^{14}(c-a)^7(c-b)^9(a-b)^9(a-c)^{13}(b-c)^5(b-a)^3<0$
Vì $a^{10}b^6c^{14}>0$
\Rightarrow $(c-a)^7(c-b)^9(a-b)^9(a-c)^{13}(b-c)^5(b-a)^3<0$
Vì $a<b<c$ \Rightarrow $c-a>0;c-b>0;a-b<0;a-c<0;b-c<0;b-a>0$
\Rightarrow $(c-a)^7(c-b)^9(a-b)^9(a-c)^{13}(b-c)^5(b-a)^3<0$
Vì điều trên thỏa mãn $a^3b^5(c−a)^7(c−b)^9.bc^5(a-b)^9.(a-c)^{13}.c^9a^7(b-c)^5(b-a)^3<0$
Nên đề sai
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Nên nhớ:Có ít nhất 1 bất đẳng thức sai,chứ không phải chỉ có 1 bất đẳng thức sai.
giả sử có $\begin{cases}a^3b^5(c−a)^7(c−b)^9>0\\bc^5(a-b)^9.(a-c)^{13}>0\\c^9a^7(b-c)^5(b-a)^3<0 \end{cases}$

thì ta vẫn sẽ có:$a^3b^5(c−a)^7(c−b)^9.bc^5(a-b)^9.(a-c)^{13}.c^9a^7(b-c)^5(b-a)^3<0$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom