chứng minh quy nạp

R

rua_it

whitesnow128 said:
cho n so thuc duong x1, x2,...,xn thoa man dieu kien x1.x2...xn=1
Chung minh rang: x1+x2+....+xn>=n
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
AM-GM đây mà nhỉ:-?
[tex]n=k+1[/tex]
[tex]x_1+x_2+x_3+x_k \geq k[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cần chứng minh [tex]x_1+x_2+x_3+...+x_{k+1} \geq \sqrt[k+1]{x_1x_2x_3...x_{k+1}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]\sum_{i=1}^{k+1} x_i +(k-1)\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]=[\sum_{i=1}^k x_i]+(x_{k+1}+\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}.(k-1) \geq 2k. \sqrt[2k]{(x_1x_2x_3...x_{k+1}).(x_1x_2x_3...x_{k+1}) ^{\frac{k-1}{k+1}}}[/tex]

[tex]=2k.\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]\Rightarrow x_1+x_2+x_3+...+x_n \geq n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=n[/tex]
 
Last edited by a moderator:
N

nicenight94

cậu ơi , đây không chứng minh trực tiếp bằng bđt cauchy được hả?
nếu chứng minh bằng cauchy thì bài giải sẽ ngắn như thế này thôi:
AD bđt cho n số thực dương x1,x2, ...,xn,ta có:
x1+x2+...+xn>=n*căn bậc n của (x1*x2*...*xn)
mà x1*x2*...*xn=1 =>x1+x2+...+xn>=n(đpcm)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1=x1=...=xn=1
 
0

08021994

nicenight94 said:
cậu ơi , đây không chứng minh trực tiếp bằng bđt cauchy được hả?
nếu chứng minh bằng cauchy thì bài giải sẽ ngắn như thế này thôi:
AD bđt cho n số thực dương x1,x2, ...,xn,ta có:
x1+x2+...+xn>=n*căn bậc n của (x1*x2*...*xn)
mà x1*x2*...*xn=1 =>x1+x2+...+xn>=n(đpcm)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1=x1=...=xn=1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

uh
dùng co-si cho n số không âm là được, nhanh hơn nhiều. mỗi tội phải chứng minh d ơi! đã có đâu mà dùng, chỉ được dùng 2 số không âm thui mà:)>-
 
N

nicenight94

bài này chứng minh bằng quy nạp cũng được.
nó là bài 3.5 trong sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao, trang 86 đó cậu. Trong đó người ta dã chứng minh rất rõ ràng rồi.
Chứng tỏ là y không làm bt về nhà rồi.
 
N

nicenight94

bđt cauchy cho n số không âm đã được chứng minh rồi và thực chất năm 1821 chính cauchy đã chứng minh bài toán tổng quát này và người ta gọi đó là bđt cauchy.
trong chương trình mình hoc chỉ là một trường hợp rất nhỏ của bđt này thôi
 
N

nicenight94

nếu cậu muốn xem cách cm bđt cauchy này thì hãy đọc quyển "toán nâng cao cho học sinh đại số 10" tập 1của Phan Huy Khải, NXB Hà Nội
 
N

nicenight94

thôi để tớ cm bài này bằng quy nạp cho cậu xem:
kí hiệu bđt cần cm theo yêu cầu của đề bài là (1)
với n=1, theo gt ta có x1=1
=> (1) đúng khi n=1
với n=2, xét 2 số thực dwowng tùy ý x1,x2 tmđk x1*x2=1 (2)
Hiển nhiên trong 2 số x1,x2 phải có 1 số không lớn hơn 1 va 1 số không bé hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử x1<=1, x2>=1. Khi đó ,ta có:(1-x1)*(x2-1)>=0
=> x1+x2>=1 +x1*x2>=2(do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi n=2
Gỉa sử đã có (1) đúng khi n=k, k thuộc N* và k>=2.
Xét k+1 số thực dương tùy ý x1,x2,...,x_(k+1) tmđk x1*x1*...*x_(k+1)=1
Vì k số thực dương x1,x2,...,x_(k-1),x_k*x_(k+1) có tich = 1 nên theo gt quy nạp, ta có
x1+x2+...+x_(k-i)+x_k*x_(k+1)>=k (3)
Hơn nữa, dễ thấy trong k+1 số x1,x2,...,x_k,x_(k+1) phải có 1 số không lớn hơn 1 và 1 số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, x_k<=1 và x_(k+1)>=1. Khi đó , ta có
(1-x_k)*(x_(k+i)-1)>=0 hay x_k +x_(k+1)>= 1+x_k*x_(k+1) (4)
Từ (3) và (4) => x1+x2+....+x_(k-1)+x_k+x_(k+1)>=x1+x2+...x_(k-1)+x_k*x_(k+1)+1>= k+1
Như thế , ta cũng có (1) đúng khi n=k+1
Từ các cm trên =>đpcm
 
K

kido_b

rua_it said:
[tex]\sum_{i=1}^{k+1} x_i +(k-1)\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]=[\sum_{i=1}^k x_i]+(x_{k+1}+\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}.(k-1) \geq 2k. \sqrt[2k]{(x_1x_2x_3...x_{k+1}).(x_1x_2x_3...x_{k+1}) ^{\frac{k-1}{k+1}}}[/tex]

[tex]=2k.\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]\Rightarrow x_1+x_2+x_3+...+x_n \geq n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=n[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Tớ đã chứng minh bằng quy nạp đây mà:|:|:|
--------------------------------------
:mad:
 
0

08021994

nicenight94 said:
bài này chứng minh bằng quy nạp cũng được.
nó là bài 3.5 trong sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao, trang 86 đó cậu. Trong đó người ta dã chứng minh rất rõ ràng rồi.
Chứng tỏ là y không làm bt về nhà rồi.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

d có khác nhỉ?
nhưng mà thầy bảo chỉ được áp dụng bdt co-si cho 2 so ko am thui mà.
đúng là có tổng quát, nhưng dùng có được không chứ. có nhiều bđt đã được chứng minh nhưng vào bài vẫn phải chứng minh lại mà.
chịu. tớ nghĩ như thế thui, ngu mà. tùy các bạn:)>-
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom