chứng minh quy nạp

[whitesnow128]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho n so thuc duong x1, x2,...,xn thoa man dieu kien x1.x2...xn=1
Chung minh rang: x1+x2+....+xn>=n

 

[rua_it]

cho n so thuc duong x1, x2,...,xn thoa man dieu kien x1.x2...xn=1
Chung minh rang: x1+x2+....+xn>=n

AM-GM đây mà nhỉ:-?
[tex]n=k+1[/tex]
[tex]x_1+x_2+x_3+x_k \geq k[/tex]

Cần chứng minh [tex]x_1+x_2+x_3+...+x_{k+1} \geq \sqrt[k+1]{x_1x_2x_3...x_{k+1}[/tex]

[tex]\sum_{i=1}^{k+1} x_i +(k-1)\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]=[\sum_{i=1}^k x_i]+(x_{k+1}+\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}.(k-1) \geq 2k. \sqrt[2k]{(x_1x_2x_3...x_{k+1}).(x_1x_2x_3...x_{k+1}) ^{\frac{k-1}{k+1}}}[/tex]

[tex]=2k.\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]\Rightarrow x_1+x_2+x_3+...+x_n \geq n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=n[/tex]

 

[nicenight94]

cậu ơi , đây không chứng minh trực tiếp bằng bđt cauchy được hả?
nếu chứng minh bằng cauchy thì bài giải sẽ ngắn như thế này thôi:
AD bđt cho n số thực dương x1,x2, ...,xn,ta có:
x1+x2+...+xn>=n*căn bậc n của (x1*x2*...*xn)
mà x1*x2*...*xn=1 =>x1+x2+...+xn>=n(đpcm)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1=x1=...=xn=1

 

[08021994]

cậu ơi , đây không chứng minh trực tiếp bằng bđt cauchy được hả?
nếu chứng minh bằng cauchy thì bài giải sẽ ngắn như thế này thôi:
AD bđt cho n số thực dương x1,x2, ...,xn,ta có:
x1+x2+...+xn>=n*căn bậc n của (x1*x2*...*xn)
mà x1*x2*...*xn=1 =>x1+x2+...+xn>=n(đpcm)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1=x1=...=xn=1

uh
dùng co-si cho n số không âm là được, nhanh hơn nhiều. mỗi tội phải chứng minh d ơi! đã có đâu mà dùng, chỉ được dùng 2 số không âm thui mà>-

 

[messitorres9]

sao bài này ko chứng minh quy nạp, có thể giải thích ko:-/

 

[08021994]

sao bài này ko chứng minh quy nạp, có thể giải thích ko:-/

với n số thì giải thích làm sao bạn
bn noi thu xem co dung khong. hi>-

 

[nicenight94]

bài này chứng minh bằng quy nạp cũng được.
nó là bài 3.5 trong sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao, trang 86 đó cậu. Trong đó người ta dã chứng minh rất rõ ràng rồi.
Chứng tỏ là y không làm bt về nhà rồi.

 

[nicenight94]

bđt cauchy cho n số không âm đã được chứng minh rồi và thực chất năm 1821 chính cauchy đã chứng minh bài toán tổng quát này và người ta gọi đó là bđt cauchy.
trong chương trình mình hoc chỉ là một trường hợp rất nhỏ của bđt này thôi

 

[nicenight94]

nếu cậu muốn xem cách cm bđt cauchy này thì hãy đọc quyển "toán nâng cao cho học sinh đại số 10" tập 1của Phan Huy Khải, NXB Hà Nội

 

[nicenight94]

thôi để tớ cm bài này bằng quy nạp cho cậu xem:
kí hiệu bđt cần cm theo yêu cầu của đề bài là (1)
với n=1, theo gt ta có x1=1
=> (1) đúng khi n=1
với n=2, xét 2 số thực dwowng tùy ý x1,x2 tmđk x1*x2=1 (2)
Hiển nhiên trong 2 số x1,x2 phải có 1 số không lớn hơn 1 va 1 số không bé hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử x1<=1, x2>=1. Khi đó ,ta có1-x1)*(x2-1)>=0
=> x1+x2>=1 +x1*x2>=2(do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi n=2
Gỉa sử đã có (1) đúng khi n=k, k thuộc N* và k>=2.
Xét k+1 số thực dương tùy ý x1,x2,...,x_(k+1) tmđk x1*x1*...*x_(k+1)=1
Vì k số thực dương x1,x2,...,x_(k-1),x_k*x_(k+1) có tich = 1 nên theo gt quy nạp, ta có
x1+x2+...+x_(k-i)+x_k*x_(k+1)>=k (3)
Hơn nữa, dễ thấy trong k+1 số x1,x2,...,x_k,x_(k+1) phải có 1 số không lớn hơn 1 và 1 số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, x_k<=1 và x_(k+1)>=1. Khi đó , ta có
(1-x_k)*(x_(k+i)-1)>=0 hay x_k +x_(k+1)>= 1+x_k*x_(k+1) (4)
Từ (3) và (4) => x1+x2+....+x_(k-1)+x_k+x_(k+1)>=x1+x2+...x_(k-1)+x_k*x_(k+1)+1>= k+1
Như thế , ta cũng có (1) đúng khi n=k+1
Từ các cm trên =>đpcm

 

[kido_b]

[tex]\sum_{i=1}^{k+1} x_i +(k-1)\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]=[\sum_{i=1}^k x_i]+(x_{k+1}+\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}.(k-1) \geq 2k. \sqrt[2k]{(x_1x_2x_3...x_{k+1}).(x_1x_2x_3...x_{k+1}) ^{\frac{k-1}{k+1}}}[/tex]

[tex]=2k.\sqrt[k+1]{x_1x_2...x_{k+1}}[/tex]

[tex]\Rightarrow x_1+x_2+x_3+...+x_n \geq n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=n[/tex]

Tớ đã chứng minh bằng quy nạp đây mà:|:|:|
--------------------------------------

 

[08021994]

bài này chứng minh bằng quy nạp cũng được.
nó là bài 3.5 trong sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao, trang 86 đó cậu. Trong đó người ta dã chứng minh rất rõ ràng rồi.
Chứng tỏ là y không làm bt về nhà rồi.

d có khác nhỉ?
nhưng mà thầy bảo chỉ được áp dụng bdt co-si cho 2 so ko am thui mà.
đúng là có tổng quát, nhưng dùng có được không chứ. có nhiều bđt đã được chứng minh nhưng vào bài vẫn phải chứng minh lại mà.
chịu. tớ nghĩ như thế thui, ngu mà. tùy các bạn>-