chứng minh quy nạp

[nguyenmivan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: cmr: 2^(2n+2) > 2n+5 với n thuộc N*
bài 2: cho a>-1 và n thuộc N*. CMR: (1+a)^n>=1+na.
bài 3: CMR: [TEX]\forall[/TEX]>=2,n thuộc N, ta luôn có: (1-[TEX]\frac{1}{4}[/TEX])(1-[TEX]\frac{1}{9}[/TEX]) (1-[TEX]\frac{1}{16}[/TEX])..... (1-[TEX]\frac{1}{n^2}[/TEX])=[TEX]\frac{n+1}{2n}[/TEX]

 

[quynhsieunhan]

bài 1: cmr: 2^(2n+2) > 2n+5 với n thuộc N*

+) Với n = 1,có: $2^{2.1 + 2} = 16$ > $7 = 2.1 + 5$ \Rightarrow đúng
+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có: $2^{2k + 2}$ > $2k + 5$
+)Ta cm bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là phải cm:
$2^{2(k + 1) + 2}$ > $2(k + 1) + 5$
Thật vậy, có:
$2^{2(k + 1) + 2} = 2^{2k + 2}.4 > (2k + 5).4 > 2(2k + 5) = (2k + 5) + (2k + 5) > (2k + 5) + 2 = 2(k + 1) + 5$
\Rightarrow đpcm

 

[quynhsieunhan]

Bài 2:
+) Với n = 1, có: $(1 + a)^1 = 1 + a = 1 + 1.a$ \Rightarrow đúng
+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có: $(1 + a)^k$ \geq $1 + ka$
+) Ta phải cm bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là phải cm:
$(1 + a)^{k + 1}$ \geq $1 + (k + 1)a$
Thật vậy có:
$(1 + a)^{k + 1} = (1 + a)^k.(1 + a)$ \geq $(1 + ka)(1 + a) = 1 + (k + 1)a + ka^2$ \geq $1 + (k + 1)a$
\Rightarrow đpcm

Bài 3:
+) Với n = 2, có: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \frac{2 + 1}{2.2}$ \Rightarrow đúng
+) Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có: $(1 - \frac{1}{4})(1 - \frac{1}{9})...(1 - \frac{1}{k^2}) = \frac{k + 1}{2k}$
+) Ta phải cm đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là phải cm:
$(1 - \frac{1}{4})(1 - \frac{1}{9})...(1 - \frac{1}{k^2})(1 - \frac{1}{(k + 1)^2}) = \frac{(k + 1) + 1}{2(k + 1)}$
Thật vậy, có:
VT = $\frac{k + 1}{2k}.(1 - \frac{1}{(k + 1)^2})$
= $\frac{k + 1}{2k}.\frac{(k + 1)^2 - 1}{(k + 1)^2}$
= $\frac{(k + 1) + 1}{2(k + 1)}$
\Rightarrow đpcm

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
Em thì lười làm, lời giải thì chả hay ho gì cho lắm.
Áp dụng bất đẳng thức Bernulli (bài số 2), chú ý là $2n>1$:
$$2^{2n+2}=4(1+1)^{2n}\ge 4.(1+2n)=8n+4>2n+5$$