chứng minh (quy nạp)

[lethithuydungdn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

aj giải giúp mình bài này với!
Chứng minh \forallsố nguyên dương n, ta luôn có:
[TEX]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{4}{5}....\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}[/TEX]

 

[newstarinsky]

Khi $n=1$ ta có $\dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Giả sử BDT đúng khi $n=k$ tức là
$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}.............\dfrac{2k-1}{2k}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}$

Ta đi chứng minh BDT cũng đúng khi $n=k+1$ tức là
$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}.........\dfrac{2k-1}{2k}. \dfrac{2k+1}{2k+2}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$

Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có
$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}.........\dfrac{2k-1}{2k}. \dfrac{2k+1}{2k+2}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}. \dfrac{2k+1}{2k+2}$

Mà $(2k+1)^2.(2k+3)<(2k+1)^2.(2k+3)+2k =(2k+2)^2.(2k+1)\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}. \dfrac{2k+1}{2k+2}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$
nên BDT đúng khi $n=k+1$
Vậy BDT đã cho đúng $\forall n$ nguyên dương

 

[lethithuydungdn]

Khi $n=1$ ta có $\dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Giả sử BDT đúng khi $n=k$ tức là
$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}.............\dfrac{2k-1}{2k}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}$

Ta đi chứng minh BDT cũng đúng khi $n=k+1$ tức là
$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}.........\dfrac{2k-1}{2k}. \dfrac{2k+1}{2k+2}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$

Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có
$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}.........\dfrac{2k-1}{2k}. \dfrac{2k+1}{2k+2}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}. \dfrac{2k+1}{2k+2}$

Mà $(2k+1)^2.(2k+3)<(2k+1)^2.(2k+3)+2k =(2k+2)^2.(2k+1)\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}. \dfrac{2k+1}{2k+2}<\dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$
nên BDT đúng khi $n=k+1$
Vậy BDT đã cho đúng $\forall n$ nguyên dương

Cái dòng mà........đó ở đâu ra vậy, bạn giải thích giúp mình với nhé