Toán 9 Chứng minh $PM \cdot PN=MN^{2}$, 2 đường thẳng cắt nhau ở 1 điểm trên đường tròn

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

(Thi thử vòng 1 chuyên KHTN 2019)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng hình vuông BCEF sao cho E,F,A cùng phía với BC. Gọi giao điểm của OE,OF lần lượt với AC, AB là M,N. Gọi K, L là hình chiếu vuông góc của M,N xuống BC.
a) Chứng minh KMNL là hình vuông (đã làm)
b) Tia NM cắt (O) tại P. Chứng minh [math]PM \cdot PN=MN^{2}[/math]c) Chứng minh rằng 2 đường thẳng EP và FO cắt nhau tại một điểm thuộc (O)
Em xin cảm ơn!

 

[Alice_www]

(Thi thử vòng 1 chuyên KHTN 2019)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng hình vuông BCEF sao cho E,F,A cùng phía với BC. Gọi giao điểm của OE,OF lần lượt với AC, AB là M,N. Gọi K, L là hình chiếu vuông góc của M,N xuống BC.
a) Chứng minh KMNL là hình vuông (đã làm)
b) Tia NM cắt (O) tại P. Chứng minh [math]PM \cdot PN=MN^{2}[/math]c) Chứng minh rằng 2 đường thẳng EP và FO cắt nhau tại một điểm thuộc (O)
Em xin cảm ơn!

AlexisBorjanov
b) Gọi I là trung điểm của MN
[imath]\Rightarrow OI=\dfrac{2R}3\Rightarrow IP=\dfrac{R\sqrt5}3[/imath]
[imath]PM.PN=(PI-IM)(PI+IN)=PI^2-IM^2=\dfrac{4R^2}9=MN^2[/imath]

c) Gọi [imath]OF\cap EP=D[/imath]
Ta có: [imath]EF=2R; NP=\dfrac{1+\sqrt5}3R[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{NP}{EF}=\dfrac{ND}{FD}=\dfrac{1+\sqrt5}6\Rightarrow \dfrac{FN}{FD}=\dfrac{5-\sqrt5}6[/imath]
[imath]FN=\sqrt{NA^2+FA^2}=\dfrac{2R\sqrt5}3; OF=\sqrt{BO^2+FB^2}=R\sqrt5[/imath]
[imath]\Rightarrow FD=\dfrac{6FN}{5-\sqrt5}=(1+\sqrt{5})R\Rightarrow OD=FD-OF=R[/imath]
Vậy [imath]D\in (O)[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Ôn tập toán các dạng bài hình học 9