Toán 11 Chứng minh phương trình nghiệm nguyên vô số nghiệm.

[boywwalkman]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng phương trình [tex]x^2-6y^2=1[/tex] có vô số nghiệm dưới dạng số tự nhiên. Theo như mình đoán thì phải chứng minh x có dạng theo công thức nào đó rồi chứng minh y là số nguyên hoặc ngược lại.
Cảm ơn.

 

[7 1 2 5]

Chứng minh rằng phương trình [tex]x^2-6y^2=1[/tex] có vô số nghiệm dưới dạng số tự nhiên. Theo như mình đoán thì phải chứng minh x có dạng theo công thức nào đó rồi chứng minh y là số nguyên hoặc ngược lại.
Cảm ơn.

Đây là phương trình Pell dạng I, bạn có thể đọc thêm nhé.
Phương trình trên có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là [TEX](x,y)=(5,2)[/TEX]. Khi đó công thức nghiệm của phương trình là:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=5,x_{n+2}=10x_{n+1}-x_n\\ y_0=0,y_1=2,y_{n+2}=10y_{n+1}-y_n \end{matrix}\right.[/tex]

 

[boywwalkman]

Đây là phương trình Pell dạng I, bạn có thể đọc thêm nhé.
Phương trình trên có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là [TEX](x,y)=(5,2)[/TEX]. Khi đó công thức nghiệm của phương trình là:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=5,x_{n+2}=10x_{n+1}-x_n\\ y_0=0,y_1=2,y_{n+2}=10y_{n+1}-y_n \end{matrix}\right.[/tex]

Bạn chỉ cho mình tài liệu nào chứng minh phương trình pell được không? Trên mạng họ toàn chấp nhận.

 

[7 1 2 5]

Bạn chỉ cho mình tài liệu nào chứng minh phương trình pell được không? Trên mạng họ toàn chấp nhận.

Chứng minh cái này không khó nhé, bạn sử dụng quy nạp là được.
Ta thấy [TEX](x_1,y_1),(x_2,y_2)[/TEX] đều là nghiệm.
Giả sử [TEX](x_i,y_i)[/TEX] là nghiệm với mọi [TEX]1 \leq i \leq n+1[/TEX]. Ta sẽ chứng minh [TEX](x_{n+2},y_{n+2})[/TEX] là nghiệm.
Thật vậy, xét [tex]x_{n+2}^2-6y_{n+2}^2=(10x_{n+1}-x_n)^2-6(10y_{n+1}-y_n)^2=100(x_{n+1}^2-6y_{n+1}^2)+(x_n^2-6y_n^2)-20(x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n)=101-20(x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n)[/tex]
Đặt [TEX]x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n=v_n[/TEX].
Ta có: [TEX]v_n=x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n=x_n(10x_n-x_{n-1})-6y_n(10y_n-y_{n-1})=10(x_n^2-6y_n^2)-(x_nx_{n-1}-6y_ny_{n-1})=10-v_{n-1}[/TEX]
Mà [TEX]v_0=5 \Rightarrow v_n=5 \Rightarrow x_{n+2}^2-6y_{n+2}^2=101-20v_n=1 \Rightarrow [/TEX] đpcm.

 

[boywwalkman]

Chứng minh cái này không khó nhé, bạn sử dụng quy nạp là được.
Ta thấy [TEX](x_1,y_1),(x_2,y_2)[/TEX] đều là nghiệm.
Giả sử [TEX](x_i,y_i)[/TEX] là nghiệm với mọi [TEX]1 \leq i \leq n+1[/TEX]. Ta sẽ chứng minh [TEX](x_{n+2},y_{n+2})[/TEX] là nghiệm.
Thật vậy, xét [tex]x_{n+2}^2-6y_{n+2}^2=(10x_{n+1}-x_n)^2-6(10y_{n+1}-y_n)^2=100(x_{n+1}^2-6y_{n+1}^2)+(x_n^2-6y_n^2)-20(x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n)=101-20(x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n)[/tex]
Đặt [TEX]x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n=v_n[/TEX].
Ta có: [TEX]v_n=x_{n+1}x_n-y_{n+1}y_n=x_n(10x_n-x_{n-1})-6y_n(10y_n-y_{n-1})=10(x_n^2-6y_n^2)-(x_nx_{n-1}-6y_ny_{n-1})=10-v_{n-1}[/TEX]
Mà [TEX]v_0=5 \Rightarrow v_n=5 \Rightarrow x_{n+2}^2-6y_{n+2}^2=101-20v_n=1 \Rightarrow [/TEX] đpcm.

Làm sao bạn tìm được công thức của hai dãy số trên vậy?

 

[7 1 2 5]

Xét phương trình tổng quát [TEX]x^2-dy^2=1[/TEX] với d không là số chính phương.
Giả sử [TEX]b[/TEX] là số nhỏ nhất sao cho [TEX]db^2+1[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]a=\sqrt{db^2+1}[/TEX]
Khi đó công thức truy hồi của dãy nghiệm là [tex]\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=a,x_{n+1}=2ax_n-x_{n-1}\\ y_0=0,y_1=b,y_{n+1}=2ay_{n}-y_{n-1} \end{matrix}\right.[/tex]

 

[boywwalkman]

Xét phương trình tổng quát [TEX]x^2-dy^2=1[/TEX] với d không là số chính phương.
Giả sử [TEX]b[/TEX] là số nhỏ nhất sao cho [TEX]db^2+1[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]a=\sqrt{db^2+1}[/TEX]
Khi đó công thức truy hồi của dãy nghiệm là [tex]\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=a,x_{n+1}=2ax_n-x_{n-1}\\ y_0=0,y_1=b,y_{n+1}=2ay_{n}-y_{n-1} \end{matrix}\right.[/tex]

Bạn nghĩ sao về công thức trong blog này? Có phải hai công thức truy hồi đều là một?
https://julielltv.wordpress.com/2014/07/28/dinh-li-ve-cau-truc-nghiem-cua-phuong-trinh-pell-loai-1/

 

[7 1 2 5]

Bạn nghĩ sao về công thức trong blog này? Có phải hai công thức truy hồi đều là một?

Về biểu thức truy hồi thì cả 2 đều là 1 nhé.

 

[boywwalkman]

Chứng minh rằng phương trình [tex]x^2-6y^2=1[/tex] có vô số nghiệm dưới dạng số tự nhiên. Theo như mình đoán thì phải chứng minh x có dạng theo công thức nào đó rồi chứng minh y là số nguyên hoặc ngược lại.
Cảm ơn.

Cho mình hỏi thêm là làm sao chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường nhỉ, do đây là dãy truy hồi bậc 2 nên phải có thêm nghiệm không tầm thường nhỏ nhất nữa.

 

[7 1 2 5]

Cho mình hỏi thêm là làm sao chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường nhỉ, do đây là dãy truy hồi bậc 2 nên phải có thêm nghiệm không tầm thường nhỏ nhất nữa.

Trong trường hợp d là số cụ thể(không là số chính phương) thì có thể thử chọn, còn trường hợp tổng quát thì thừa nhận nhé.