chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn 29x^2+16xy +5y^2=2666
( sử dụng bổ đề : nếu số nguyên tố p dạng 4k+3 thì a^2+b^2 chia hết cho p khi và chỉ khi a và b chia hết cho p)
HỌC LÀM GÌTrước hết là chứng minh bổ đề :
Nếu [imath]p \nmid a[/imath] mà p là số nguyên tố nên [imath]\gcd(a,p)=1[/imath]
Theo định lý Fecma nhỏ ta có: [imath]a^{p-1} \equiv 1 (\bmod{p}) \Rightarrow (a^2)^{2k+1} \equiv 1 (\bmod{p})[/imath]
Tương tự: [imath](b^2)^{2k+1} \equiv 1 (\bmod{p})[/imath] [imath]\Rightarrow (a^2)^{2k+1} + (b^2)^{2k+1} \equiv 2 (\bmod{p})[/imath]$
Mà [imath](a^2)^{2k+1} + (b^2)^{2k+1} \vdots a^2 +b^2 \vdots p \Rightarrow 2 \vdots p \Rightarrow p\in \emptyset[/imath]
Vậy a,b đều chia hết cho p.
Áp dụng vào bài toán như sau:
[imath]2666 = (5x+2y)^2 + (2x-y)^2 \vdots 31[/imath] (có thể chọn 43 cũng được)
[imath]\Rightarrow 5x+2y, 2x-y \vdots 31 \Rightarrow 5x+2y + 2(2x-y) = 9x \vdots 31 \Rightarrow x \vdots 31 \Rightarrow y\vdots 31[/imath]
[imath]\Rightarrow 29x^2+16xy+5y^2 \vdots 31^2 \Rightarrow 2666 \vdots 31^2[/imath] (vô lý)
Vậy không tồn tại thỏa mãn đề bài.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[TẶNG BẠN] Trọn bộ kiến thức 8 môn học hoàn toàn miễn phí
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
