Nhìn đpcm, ta nghĩ thử về việc đưa về các hệ số $\dfrac{2}q, \dfrac{1}p, \dfrac{1}r$:
$\dfrac{2}q \vec{AQ} = 2 \vec{AI} = \vec{AB} + \vec{AC}$
$\dfrac{1}p \vec{AP} = \vec{AB}$
$\dfrac{1}r \vec{AR} = \vec{AC}$
Từ đó: $\dfrac{2}q \vec{AQ} = \dfrac{1}p \vec{AP} + \dfrac{1}r \vec{AR}$
Tới đây, nếu bạn đã từng làm qua dạng các bài toán thẳng hàng thì có thể bạn đã từng gặp qua một tính chất: $$A, B, C \text{ thẳng hàng} \iff \vec{OB} = k \vec{OA} + (1 - k) \vec{OC}$$
Bạn có thể áp dụng thẳng vào bài toán của bạn và suy ra đpcm luôn. Hoặc bạn có thể làm bằng cách chứng minh hai chiều:
- Nếu $\dfrac{2}q = \dfrac{1}p + \dfrac{1}r$ thì biểu thức $\iff \dfrac{1}p (\vec{AQ} - \vec{AP}) = \dfrac{1}r (\vec{AR} - \vec{AQ})$
Suy ra $\dfrac{1}p \vec{PQ} = \dfrac{1}r \vec{QR}$ nên $P, Q, R$ thẳng hàng.
- Giả sử $P, Q, R$ thẳng hàng thì $\vec{PQ} = k \vec{QR}$ hay $\vec{AQ} - \vec{AP} = k \vec{AR} - k \vec{AQ}$
Suy ra $(1 + k)\vec{AQ} = \vec{AP} + k \vec{AR}$
Từ đó ta có tỉ lệ $\dfrac{2}q : \dfrac{1}p : \dfrac{1}r = (1 + k) : 1 : k$. Do $(1 + k) = 1 + k$ nên $\dfrac{2}q = \dfrac{1}p + \dfrac{1}r$ là đpcm.
Nếu có thắc mắc gì, bạn có thể hỏi lại ở đây nhé
Chúc bạn học tốt!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Cho △ABC, I là trung điểm BC. Gọi P, Q, R là các điểm xác định bởi vecto AP=pAB, vtAQ=qAI, vtAR=rAC (p,q,r khác 0).