Chứng minh nhị thức Newton

[chuotbach9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR [TEX]{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\[/TEX]

 

[duynhana1]

CMR [TEX]{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\[/TEX]

Ta để ý CT : [TEX] C_{n}^k = C_{n-k} [/TEX]

Và ta có :

[TEX](1+x)^n(x+1)^n = (1+x)^{2n}[/TEX]

Khai triển từng cái rồi đồng nhất hệ số của [TEX]x^n[/TEX] ta có điều phải chứng minh

 

[chuotbach9x]

[TEX]( {1 + x} )^n = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}[/TEX]
[TEX]( {x + 1} )^n = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^n[/TEX]
[TEX]( {1 + x} )^n{\left( {x + 1} \right)^n} = {\left( {1 + x} \right)^{2n}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow {\left ( {C_n^0} )^2 + {\left( {C_n^1} \right)^2}{x^n} + {\left( {C_n^3} \right)^2}{x^n} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2}{x^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^n{x^n} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}[/TEX]
Em làm tới đây rồi không biết có đúng không, giờ phải làm sao nữa???

 

[duynhan1]

[TEX]( {1 + x} )^n = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}[/TEX]
[TEX]( {x + 1} )^n = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^n[/TEX]
[TEX]( {1 + x} )^n{\left( {x + 1} \right)^n} = {\left( {1 + x} \right)^{2n}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow {\left ( {C_n^0} )^2 + {\left( {C_n^1} \right)^2}{x^n} + {\left( {C_n^3} \right)^2}{x^n} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2}{x^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^n{x^n} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}[/TEX]
Em làm tới đây rồi không biết có đúng không, giờ phải làm sao nữa???

Nhân vào thì ta có :

Hệ số của số hạng chứ [TEX]x^n[/TEX] trong khai triển [TEX](1+x)^n(x+1)^n[/TEX] là :

[TEX]C_{n}^0.C_{n}^n+C_{n}^1.C_{n}^{n-1} +....+C_{n}^n.C_{n}^0 = Ve \ \ Trai [/TEX]

Lại có :
Hệ số của x^n trong khai triển [TEX](1+x)^{2n}[/TEX] là : [TEX]C^{n}_{2n}[/TEX]

Đồng nhất hệ số của [TEX]x^n[/TEX] ta có điều phải chứng minh.