Chứng minh: $MN=\frac{AB}{\sqrt{2}}$

[mua_sao_bang_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn. $\widehat{C}=45^o$ nội tiếp (O) Kẻ đường cao BM, AN
a, Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp
b, CM: OC vuông góc với MN
c, Chứng minh: $MN=\frac{AB}{\sqrt{2}}$

 

[harrypham]

Lời giải. c) Vẽ tam giác vuông cân $AHB$ với $\angle AHB = 90^{\circ}$.
Do đó $\triangle AHB \sim \triangle ANC \; ( \text{g.g}) \implies \dfrac{AH}{AN}= \dfrac{AB}{AC} \qquad (1)$.
Dễ chứng minh $\triangle ANC \sim \triangle BMC \; (\text{g.g}) \implies \dfrac{NC}{MC}= \dfrac{AC}{AB}$. Từ đó dẫn đến $\triangle CNM \sim \triangle CAB \; ( \text{c.g.c} ) \implies \dfrac{MN}{NC}= \dfrac{AB}{AC} \qquad (2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\dfrac{MN}{NC}= \dfrac{AH}{AN}$ mà $NC=AN$ nên $NM=AH=BH$.
Xét tam giác vuông $AHB$ thì theo định lý Pythagoras ta có $2BH^2=AB^2$ suy ra $ \sqrt 2 MN= AB$.