chứng minh mấy hằng đẳng thức khó!!!

[pemi_thefame]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

[TEX]1. 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
[TEX]2. 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]
[TEX]3. 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2[/TEX]
[TEX]4. 1^3 - 2^3 + 3^3 - ... + n^3 =[/TEX]
TH1: n lẻ thì [TEX]1^3 - 2^3 + 3^3 - ... + n^3 = a^2(4a-3)[/TEX] với [TEX]a = \frac{n+1}{2}[/TEX]
TH2: n chẵn thì [TEX]1^3 - 2^3 + 3^3 - ... + n^3 = -a^2(4a-3)[/TEX] với [TEX]a =\frac{n}{2}[/TEX]

[TEX]5. 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2 [/TEX]
[TEX]6. \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + ... + \frac{1}{n^k} = \frac{n^k - 1}{n^k(n-1)}[/TEX]
[TEX]7. \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3} - ... - \frac{1}{n^k} = \frac{n^(k-1) - n^(k-2) - ... - n - 1}{n^k}[/TEX]
[TEX]8. 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ... + n(n!) = (n+1)! - 1[/TEX]
Chứng minh hết giúp em nhá!! Thanks!! EM cần gấp.

mọi người lưu ý cái câu 7 em viết vế phải là n mũ (k-1) , n mũ (k-2) nhé, em cũng hem bít phải viết TEX của nó thế nèo.

 

[ms.sun]

Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

[TEX]1. 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2} (1)[/TEX]

mấy cái bài kiểu này bạn cứ dùng quy nạp là ok
1, Với [TEX]n=1 ---> (1) dung[/TEX]
giả sử (1) cũng đúng với n=k , hay :
[TEX]1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}[/TEX]
thì ta cũng chứng minh (1) đúng với n=k+1 , tức là phải CM:
[TEX]1+2+3....+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/TEX]
thật vậy, ta có: [TEX]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{k^2+3k+2}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/TEX] suy ra đpcm

 

[trongthanh95]

dùng quy nạp như bạn trên cũng dc nhưng với bài 1 có 1 cách đơn giản hơn
1+2+3+.................+n
=(1+n)+(2+n-1)+...........
= (n+1)+(n+1)+.................
sẽ có n/2 cặp
nó cũng đúng với trường hợp n lẻ
vì giải thíh nôm na là
số còn lại cuối cùng =( số trước nó + số sau nó )/2= đây là 1 cặp
mới vào nên chưa bik gõ công thức cho dễ nhìn
mong sư phụ và các sư huynh thông cảm

 

[trongthanh95]

Câu 5 thì giống rồi
còn câu 2 làm tương tự xem sao
ghép 1^2 + n^2 +2n-2n
2^2+(n-1)^2+4(n-1)-4(n-1)
tương tự ta có
(n+1)^2n/2-{2n+4(n-1)+6(n-2)+8(n-3)+........+2n}
đến đây nó có quy luật nhưng mình ko tính tổng dc
mọi ng` tính dùm

 

[james_bond_danny47]

mấy cái bài kiểu này bạn cứ dùng quy nạp là ok
1, Với [TEX]n=1 ---> (1) dung[/TEX]
giả sử (1) cũng đúng với n=k , hay :
[TEX]1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}[/TEX]
thì ta cũng chứng minh (1) đúng với n=k+1 , tức là phải CM:
[TEX]1+2+3....+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/TEX]
thật vậy, ta có: [TEX]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{k^2+3k+2}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/TEX] suy ra đpcm

mấy Bạn có thể tham khảo sgk toán 4 tập 1 bài đọc thêm về Gauss để xem cách giải ngắn gọn cho bài này

 

[816554]

dạng bài này bạn sử dụng quy nạp, các bước giải như sau:
B1: bạn thay n =1, vào bt
B2: bạn giả sử bt đúng với n= kl
B3: bạn chứng minh bt cũng đúng với n = k+1