Toán 11 Chứng mình M,N,P,Q thuộc 1 đường tròn tiếp xúc với DM

[peww]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB,AC của tam giác ABC lần lượt tại B và C. Đường thẳng (d) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E, đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại P,Q. Đường thẳng qua D song song với AC cắt BC tại M, đường thẳng qua E song song với AB cắt BC tại N.
a) CMR 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn.
b) CMR đường tròn đi qua 4 điểm M,N,P,Q tiếp xúc với đường thẳng DM.

 

[7 1 2 5]

a) Gọi giao điểm của DM và EN là I, vẽ IN' là tiếp tuyến của [TEX](MPQ)[/TEX] cắt AC tại E'.
Nhận thấy tam giác ABC phải cân tại A.
Khi đó vì DB là tiếp tuyến của [TEX](O)[/TEX] nên [TEX]DB^2=DP.DQ[/TEX]. Mà [TEX]DM \parallel AC \Rightarrow \Delta DBM[/TEX] cân tại D, suy ra [TEX]DM^2=DB^2=DP.DQ \Rightarrow DM[/TEX] là tiếp tuyến của [TEX](MPQ)[/TEX].Tương tự thì EN là tiếp tuyến của [TEX](NPQ)[/TEX].
Từ đó [TEX]IM,IN'[/TEX] là tiếp tuyến của [TEX](MPQ) \Rightarrow IM=IN'[/TEX].
Lại có: [TEX]\widehat{IMN}=\widehat{INM} \Rightarrow IM=IN \Rightarrow IN=IN'[/TEX]
Xét 2 cát tuyến [TEX]IX_1X_2[/TEX] và [TEX]IY_1Y_2[/TEX] bất kỳ đến [TEX](NPQ),(N'PQ)[/TEX]
Vì [TEX]IX_1.IX_2=IN^2,IY_1Y_2=IN'^2 \Rightarrow IX_1.IX_2=IY_1.IY_2 \Rightarrow X_1X_2Y_2Y_1[/TEX] nội tiếp. Vì các cát tuyến đó bất kỳ nên [TEX](NPQ) \equiv (N'PQ)[/TEX] hay [TEX]N \equiv N' \Rightarrow MNPQ[/TEX] nội tiếp.
b) Đã chứng minh ở câu a).

Nếu bạn có thắc mắc gì thì có thể hỏi tại đây nhé, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.