Cho $f(x) = 100x^{100}+99x^{99}+98x^{98}+......+2x^{2}+x+1$. Biết f(x) chia 3x-1 dư m. Chứng minh $m < \frac{7}{4}$
vì [tex]f(x) : (3x-1)[/tex] dư m nên [tex]f(x)=(3x-1).g(x)+m \Rightarrow f(\frac{1}{3})=m[/tex]
Cần chứng minh [tex]f(\frac{1}{3})<\frac{7}{4}[/tex]
Thạt vậy , ta có :
[tex]f(\frac{1}{3})=\frac{100}{3^{100}}+\frac{99}{3^{99}}+...+\frac{1}{3}+1=A[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}A=\frac{100}{3^{101}}+\frac{99}{3^{100}}+...+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A-\frac{1}{3}A=-\frac{100}{3^{101}}+\frac{1}{3^{100}}+...+\frac{1}{3^2}+1=\frac{2}{3}A[/tex]
Đặt B=[tex]\frac{1}{3^{100}}+...+\frac{1}{3^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}B=\frac{1}{3^{101}}+...+\frac{1}{3^3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{2}{3}B=-\frac{1}{3^{101}}+\frac{1}{3^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow B=-\frac{1}{3^{100}.2}+\frac{1}{3.2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{2}{3}A=-\frac{100}{3^{101}}-\frac{1}{3^{100}.2}+\frac{1}{6}+1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A=-\frac{100}{3^{100}.2}-\frac{1}{3^{99}.4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A=-\frac{100}{3^{100}.2}-\frac{1}{3^{99}.4}+\frac{7}{4}< \frac{7}{4}[/tex] đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
