Toán 10 Chứng minh lượng giác

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác $ABC$ chứng minh:
$cot\dfrac{A}{2} + cot\dfrac{B}{2} + cot\dfrac{C}{2} = cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}.cot\dfrac{C}{2}$

 

[iceghost]

$\cot \dfrac{A}2 + \cot \dfrac{B}2 + \cot \dfrac{C}2 = \dfrac{\sin ( \dfrac{A}2 + \dfrac{B}2)}{\sin \dfrac{A}2 \cdot \sin \dfrac{B}2} + \cot \dfrac{C}2$
$= \dfrac{\cos \dfrac{C}2}{\sin \dfrac{A}2 \cdot \sin \dfrac{B}2} + \cot \dfrac{C}2$
$= \cot \dfrac{C}2 \cdot \left( \dfrac{\sin \dfrac{C}2}{\sin \dfrac{A}2 \cdot \sin \dfrac{B}2} + 1 \right)$
$= \cot \dfrac{C}2 \cdot \dfrac{\cos (\dfrac{A}2 + \dfrac{B}2) + \sin \dfrac{A}2 \cdot \sin \dfrac{B}2}{\sin \dfrac{A}2 \cdot \sin \dfrac{B}2}$
$= \cot \dfrac{C}2 \cdot \dfrac{\cos \dfrac{A}2 \cdot \cos \dfrac{B}2}{\sin \dfrac{A}2 \cdot \sin \dfrac{B}2}$
$= \cot \dfrac{C}2 \cdot \cot \dfrac{A}2 \cdot \cot \dfrac{B}2$

 

[TranPhuong27]

Ta có: $\frac{A+B+C}{2}=90^0\Leftrightarrow cot(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})=cot(90^0-\frac{C}{2})$
$\Leftrightarrow \frac{cot(\frac{A}{2})cot(\frac{B}{2})-1}{cot(\frac{A}{2})+cot(\frac{B}{2})}=\frac{1}{cot(\frac{C}{2})}$
$\Leftrightarrow cot(\frac{A}{2})cot(\frac{B}{2})cot(\frac{C}{2})-cot(\frac{C}{2})=cot(\frac{A}{2})+cot(\frac{B}{2})$
$\Leftrightarrow cot(\frac{A}{2})cot(\frac{B}{2})cot(\frac{C}{2})=cot(\frac{A}{2})+cot(\frac{B}{2})+cot(\frac{C}{2})$