Toán 10 Chứng minh lượng giác

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào $x$
$D = sin^{2}x + sin^{2}\left ( x + \dfrac{2\pi}{3} \right ) + sin^{2}\left ( x + \dfrac{4\pi}{3} \right )$

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]y=\frac{2 \pi}{3}[/tex]
Ta có: [tex]sin^{2}\left ( x + \dfrac{2\pi}{3} \right ) + sin^{2}\left ( x + \dfrac{4\pi}{3} \right )=sin^2(x+y)+sin^2(x+2 \pi -y)=sin^2(x+y)+sin^2(x-y)=[sin(x+y)+sin(x-y)]^2-2sin(x+y)sin(x-y)=(sinx.cosy+siny.cosx+sinx.cosy-siny.cosx)^2-2(sinx.cosy+siny.cosx)(sinx.cosy-siny.cosx)=(2sinx.cosy)^2-2(sin^2x.cos^2y-sin^2y.cos^2x)=4sin^2x.cos^2(\frac{2\pi}{3})-2[sin^2x(1-sin^2y)-sin^2y(1-sin^2x)]=sin^2x-2(sin^2x-sin^2y)=-sin^2x+2sin^2(\frac{2\pi}{3})=-sin^2x+\frac{3}{2}\Rightarrow D=sin^2x+sin^{2}\left ( x + \dfrac{2\pi}{3} \right ) + sin^{2}\left ( x + \dfrac{4\pi}{3} \right )=\frac{3}{2}[/tex]