Toán 8 Chứng minh lớn hơn hoặc bằng khi cho [tex]x,y,z>0[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với [tex]x,y,z>0[/tex].
Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}[/tex]
Thanks

 

[Darkness Evolution]

BĐT cần chứng minh tương đương với: [tex]\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right )(x+y+z)\geq 9[/tex]
Ta có:
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}[/tex] (BĐT Cô-si)
[tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}[/tex] (BĐT Cô-si)
[tex]\Rightarrow \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right )(x+y+z) \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}} \cdot 3\sqrt[3]{xyz}[/tex]
[tex]= 9\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{xyz}\cdot xyz}= 9[/tex] (đpcm)