Toán 8 Chứng minh lớn hơn hoặc bằng khi cho [tex]x+y=2[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x+y=2[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]x^4+y^4\geq x^3+y^3[/tex]
Thanks

 

[Lê Tự Đông]

Cho [tex]x+y=2[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]x^4+y^4\geq x^3+y^3[/tex]
Thanks

$x^{4}+y^{4} \geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2} \geq \frac{(\frac{(x+y)^{2}}{2})^{2}}{2} = \frac{(x+y)^{4}}{8} = 2$
Lại có : $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)=2(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy) = 2(x+y)^{2}-6xy \leq 2.(x+y)^{2}-6.\frac{(x+y)^{2}}{4} = 2$
=> đpcm

 

[Lê.T.Hà]

Bạn bị lỗi ngược dấu: [tex]2(x+y)^2-6xy\geq 2(x+y)^2-6\frac{(x+y)^2}{4}[/tex] mới đúng
Bài này nếu cho x;y dương thì chứng minh rất đơn giản, nhưng ko thấy điều kiện x;y dương nên có thể biến đổi tương đương:
[tex]x^4-x^3+y^4-y^3\geq 0\Leftrightarrow x^3(x-1)-y^3(1-y)\geq 0\Leftrightarrow x^3(x-1)-y^3(x-1)\geq 0[/tex] (do [tex]x+y=2\Rightarrow 1-y=x-1[/tex] )
[tex]\Leftrightarrow (x-1)(x^3-y^3)\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(x-y)(x^2+xy+y^2)\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)(2x-2)(x^2+xy+y^2)\geq 0\Leftrightarrow 2(x-1)^2\left ( \left ( x+\frac{y}{2} \right )^2+\frac{3y^2}{4} \right )\geq 0[/tex] (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1