Toán 8 Chứng minh lớn hơn hoặc băng khi cho điều kiện của [tex]a;b;c[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a;b;c[/tex] là các số dương thỏa mãn: [tex]a^3+b^3=a^5+b^5[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]a^2+b^2\leq 1+ab[/tex]
Thanks

 

[Lê Tự Đông]

Cho [tex]a;b;c[/tex] là các số dương thỏa mãn: [tex]a^3+b^3=a^5+b^5[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]a^2+b^2\leq 1+ab[/tex]
Thanks

<=> $a^{2}+b^{2}-ab \leq 1$
<=> $(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab) \leq a+b$ (Do a,b dương)
<=> $a^{3}+b^{3} \leq a+b$
<=> $(a^{3}+b^{3})^{2} \leq (a^{5}+b^{5})(a+b)$ (Do $a^{3}+b^{3}=a^{5}+b^{5}$)
<=> $a^{6}+b^{6}+2a^{3}b^{3} \leq a^{6}+b^{6} + ab(a^{4}+b^{4})$
<=> $ab(2a^{2}b^{2}) \leq ab(a^{4}+b^{4}$
<=> $ab(a^{4}+b^{4}-ab(2a^{2}b^{2}) \geq 0$
<=> $ab(a^{2}+b^{2})^{2} \geq 0$ đúng với a,b dương
=> đpcm