Mình giải bài tổn quát luôn!
Gỉa sử [TEX]x_0[/TEX] là nghệm của [TEX]P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0=0[/TEX].
Chứng minh rằng:
[TEX]|x_0| < 1+ max|\frac{a_i}{a_n}|(0 \leq i \leq n-1)(1)[/TEX]
Đặt [TEX]M= max|\frac{a_i}{a_n}|[/TEX]
Xét hai khả năng sau:
[TEX]1)[/TEX] Nếu [TEX]|x_0| \leq 1[/TEX] .Khi đó vì [TEX]M \geq 0[/TEX] nên (1) hiển nhiên đúng.
[TEX]2)[/TEX] Nếu [TEX]|x_0| > 1[/TEX].Vì [TEX]x_0[/TEX] là nghiệm của [TEX]P(x)[/TEX], nên ta có:
[TEX]a_nx_0^n+...+a_1x_0+a_0=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a_{n-1}x_0^{n-1}+...+a_1x_0+a_0=-a_nx_0^n[/TEX]
[TEX]\Rightarrow |x_0|^n = |\frac{a_{n-1}}{a_n}x_0^{n-1}+...+\frac{a_1}{a_n}x_0+\frac{a_0}{a_n}|[/TEX]
Mà [TEX]|\frac{a_{n-1}}{a_n}x_0^{n-1}+...+\frac{a_1}{a_n}x_0+\frac{a_0}{a_n}| \leq |\frac{a_{n-1}}{a_n}||x_0^{n-1}|+...+|\frac{a_1}{a_n}||x_0|+|\frac{a_0}{a_n}|[/TEX]
Vì [TEX]M \geq \frac{a_i}{a_n} [/TEX] nên từ hai điều trên ta suy ra:
[TEX] |x_0|^n \leq M(1+|x_0|+...+|x_0^{n-1}|=M\frac{|x_0|^n-1}{|x_0|-1}<M.\frac{|x_0|^n}{|x_0|-1} [/TEX]
Do [TEX]|x_0| > 1[/TEX] nên từ BDt trên ta suy ra:
[TEX]|x_0|-1 < M \Leftrightarrow |x_0|+1 < M. DPCM[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn