Cho hình vuông ABCD tâm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B lấy điểm E sao cho AEC = 90o, phân giác trong của góc EAC cắt ED tại điểm I. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ED, K là điểm đối xứng với O qua H. L là chân đường cao hạ từ I xuống AC. CMR KL vuông góc OI.
Hình chiếu của [imath]I[/imath] lên [imath]AC[/imath] là [imath]L[/imath] chứ nhỉ.
Lời giải này dựa vào hệ thức [imath]OI^2=R^2-2Rr[/imath] với [imath]O,I[/imath] lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của [imath]\Delta ABC[/imath] bất kỳ; [imath]R,r[/imath] là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của [imath]\Delta ABC[/imath]
Kéo dài [imath]AI[/imath] cắt đường tròn [imath](O)[/imath] tại điểm [imath]D[/imath]. Vẽ đường kính [imath]DX[/imath] của [imath](O)[/imath]. Vẽ [imath]IK \perp AC[/imath].
Ta có: [imath]\widehat{DAC}=\widehat{DXC}=\dfrac{\widehat{A}}{2}[/imath]
Lại có: [imath]\sin \widehat{DAC}=\sin \widehat{IAC}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{r}{IA}[/imath]
Mà [imath]\sin \widehat{DAC}=\sin \widehat{DXC}=\dfrac{DC}{DX}=\dfrac{DC}{2R} \Rightarrow \dfrac{DC}{2R}=\dfrac{r}{IA}[/imath]
[imath]\Rightarrow 2Rr=DC\cdot IA[/imath]
Mặt khác, [imath]\widehat{DIC}=\widehat{DAC}+\widehat{ICA}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}, \widehat{DCI}=\widehat{DCB}+\widehat{ICB}=\widehat{DAB}+\widehat{ICB}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{DIC}=\widehat{DCI} \Rightarrow DI=DC \Rightarrow 2Rr=DI \cdot IA[/imath]
Vẽ [imath]OH \perp AD[/imath] thì ta có [imath]HA=HD[/imath]. Không mất tính tổng quát giả sử [imath]K[/imath] nằm giữa [imath]D,I[/imath]
[imath]\Rightarrow 2Rr= DI \cdot IA=(DH+HI)(HA-HI)=(DH+HI)(DH-HI)=DH^2-HI^2=(DH^2+HO^2)-(HI^2+HO^2)=OD^2-OI^2=R^2-OI^2[/imath]
[imath]\Rightarrow OI^2=R^2-2Rr[/imath]
Quay lại bài toán trên.
Dễ thấy [imath]I[/imath] là tâm nội tiếp của [imath]\Delta AEC[/imath] nên [imath]IL=r[/imath] là bán kính đường tròn nội tiếp của [imath]\Delta AEC[/imath]
Từ lời giải trên ta thấy [imath]DH^2-HI^2=2Rr \Rightarrow (DI-IH)^2-IH^2=2Rr[/imath]
Mà [imath]DI^2=2DO^2=2R^2 \Rightarrow DI=\sqrt{2}R \Rightarrow 2Rr=(\sqrt{2}R-IH)^2-IH^2=(IH^2-2\sqrt{2}R\cdot IH+2R^2)=IH^2=2R^2-2\sqrt{2}RIH[/imath]
[imath]\Rightarrow IH=\dfrac{R-r}{\sqrt{2}} \Rightarrow IH^2=\dfrac{(R-r)^2}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow OH^2=OI^2-IH^2=R^2-2Rr-\dfrac{(R-r)^2}{2}=\dfrac{R^2-2Rr-r^2}{2}[/imath]
Lại có: [imath]OL^2=OI^2-IL^2=R^2-2Rr-r^2 \Rightarrow OL^2=2OH^2 \Rightarrow OK^2=2OL^2[/imath]
[imath]\Rightarrow OK^2+IL^2=2OL^2+IL^2=OI^2+OL^2=KI^2+OL^2 \Rightarrow KL \perp IO[/imath](ở đây dùng dấu hiệu: Với 4 điểm [imath]A,B,C,D[/imath] bất kỳ thì [imath]AB \perp CD \Leftrightarrow AC^2+BD^2=AD^2+BC^2[/imath])
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha Ôn tập toán các dạng bài hình học 9
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
