Toán 9 Chứng minh không đổi.

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho góc vuông xAy và đường tròn tâm O tiếp xúc với Ax, Ay lần lượt tại P và Q. Gọi d là một tiếp tuyến thay đổi của (O). Gọi a, p, q lần lượt là các khoảng cách từ A, P, Q đến đường thẳng d. Chứng minh rằng khi d thay đổi thì tỉ số a^2/pq không đổi.

 

[7 1 2 5]

Gọi giao điểm của d với Ax và Ay là B và C. tiếp điểm của d với (O) là M.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: [tex]\frac{a}{p}=\frac{BP}{AB};\frac{a}{q}=\frac{CQ}{AC}\Rightarrow \frac{a^2}{pq}=\frac{BP.CQ}{AB.AC}[/tex]
Đặt [tex]AB=c,AC=b,BC=n,m=\frac{n+b+c}{2}[/tex]
Ta thấy: [tex]AP=AQ,BP=BM,CM=CQ\Rightarrow p=AP+BM+CQ\Rightarrow BP=BM=m-(AP+CQ)=m-(AQ+CQ)=m-AC=m-b[/tex]
Tương tự [tex]CQ=m-c\Rightarrow \frac{a^2}{pq}=\frac{(m-b)(m-c)}{bc}=\frac{m^2-(b+c)m+bc}{bc}=[/tex][tex]\frac{m^2-m(b+c)}{bc}+1=\frac{\frac{(n+b+c)^2}{4}-\frac{(n+b+c)(b+c)}{2}}{bc}+1=\frac{(n+b+c)^2-2(n+b+c)(b+c)}{4bc}+1=\frac{(n+b+c)(n-b-c)}{4bc}+1=\frac{n^2-(b+c)^2}{4bc}+1=\frac{n^2-(b^2+c^2)-2bc}{4bc}+1=\frac{-2bc}{4bc}+1=\frac{1}{2}[/tex]

 

[iiarareum]

[tex]\frac{a}{p}=\frac{BP}{AB}[/tex] Chỗ này ngược hả bạn?