Toán 9 Chứng minh hệ thức: AI.KE.KD = KI.AB.AC

[Cjafje]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến ABC (AB < AC) với đường tròn. Kẻ đường kính DE vuông góc với BC tại K (E thuộc cung nhỏ BC), AD cắt đường tròn (O) tại F, EF cắt BC tại I.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác DFIK nội tiếp.
b) Gọi H là điểm đối xứng của I qua K. Chứng minh rằng: góc DHA = góc DEA
c) Chứng minh hệ thức: AI.KE.KD = KI.AB.AC
Mình làm được phần a,b rồi các bạn giúp mình phần c với

 

[Pyrit]

Xét tam giác KIE và tam giác KHE:
HK=HI (tính chất đối xứng)
K là cạnh chung
[tex]\widehat{IKE}[/tex] = [tex]\widehat{HKE}[/tex] (=90 độ)
Vậy tam giác KIE = tam giác KHE
=>IE=HE
=> tam giác IEH cân tại E
nên [tex]\widehat{HIE}[/tex] = [tex]\widehat{IHE}[/tex]
Tứ giác DFIK nội tiếp=> [tex]\widehat{ADK}[/tex] = [tex]\widehat{IHE}[/tex] (cùng bù với [tex]\widehat{FIK}[/tex] )
=> [tex]\widehat{HIE}[/tex]=[tex]\widehat{ADK}[/tex] hay [tex]\widehat{KIE}[/tex]=[tex]\widehat{ADK}[/tex]
Xét tam giác ADK và tam giác IEK:
[tex]\widehat{DKA}[/tex]=[tex]\widehat{IKE}[/tex]
[tex]\widehat{KIE}[/tex]=[tex]\widehat{ADK}[/tex] (cmt)
Vậy tam giác ADK [tex]\sim[/tex] tam giác IEK
=> [tex]\frac{EK}{AK}=\frac{IK}{DK}[/tex] => EK.DK= AK.IK (1)
Ta có:
[tex]\widehat{KIE}[/tex]=[tex]\widehat{FIA}[/tex] (đối đỉnh)
=> [tex]\widehat{ADK}[/tex]=[tex]\widehat{FIA}[/tex]
Xét tam giác ADK và tam giác AIF:
[tex]\widehat{A}[/tex] chung
[tex]\widehat{ADK}[/tex]=[tex]\widehat{FIA}[/tex] (cmt)
Vậy tam giác ADK [tex]\sim[/tex] tam giác AIF
=> [tex]\frac{AF}{AK}=\frac{AI}{AD}[/tex] => AF.AD= AI.AK (2)
Xét tam giác ABD và tam giác AFC:
[tex]\widehat{A}[/tex] chung
[tex]\widehat{ADB}[/tex]=[tex]\widehat{FCA}[/tex] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ FB)
Vậy tam giác ABD [tex]\sim[/tex] tam giác AFC
=> [tex]\frac{AB}{AF}=\frac{AD}{AC}[/tex] => AB.AC= AD.AF (3)
Từ (2) và (3) => AB.AC = AI.AK =>IK.AB.AC = IK.AI.AK (4)
Từ (1) và (4) => AI.KE.KD = KI.AB.AC