Chứng minh hằng đẳng thức và Tính

[baongan9400]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1: Cho a + b+c+d=0. Chứng minh: a^3 +b^3 + c^3+ d^3= 3(ab - cd)(c+ d)
2:Cho x +y=a, x^2 +y^2=b Tính x^3 + y^3 theo a và b
3: Cho a+ b +c = 0 ; a^2 + b^2 + c^2=1
Tính giá trị của biểu thức a^4 + b^4 + c^4
4. Chứng minh: a) Nếu số n là tổng của 2 số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương
b)Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương
P/s: Cảm ơn các bạn đã bỏ thời gian đọc và giúp mình

 

[kimphuong1032]

1.
Ta có: $a+b+c+d=0 $
=> $a+b= -(c+d)$
<=> $(a+b)^3 = -(c+d)^3$
<=> $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = -(c^3+3c^2d+3cd^2+d^3)$
<=> $a^3+b^3+3ab(a+b) = -c^3-d^3-3cd(c+d)$
Mà $a+b = -(c+d)$
=> $a^3 +b^3-3ab(c+d) = -c^3-d^3-3cd(c+d)$
<=> $a^3+b^3+c^3+d^3 = 3ab(c+d)-3cd(c+d)$
<=> $a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(c+d)(ab-cd)$

 

[pandahieu]

1.
Ta có: $a+b+c+d=0 $
=> $a+b= -(c+d)$
<=> $(a+b)^3 = -(c+d)^3$
<=> $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = -(c^3+3c^2d+3cd^2+d^3)$
<=> $a^3+b^3+3ab(a+b) = -c^3-d^3-3cd(c+d)$
Mà $a+b = -(c+d)$
=> $a^3 +b^3-3ab(c+d) = -c^3-d^3-3cd(c+d)$
<=> $a^3+b^3+c^3+d^3 = 3ab(c+d)-3cd(c+d)$
<=> $a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(c+d)(ab-cd)$

Bài 2 $x+y=a$ ; $x^2+y^2=b$ \Rightarrow $xy=\frac{a^2-b}{2}$

Ta có $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=a^3-3.\frac{a^2-b}{2}.a$

 

[huy14112]

1.
Ta có: $a+b+c+d=0 $
=> $a+b= -(c+d)$
<=> $(a+b)^3 = -(c+d)^3$
<=> $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = -(c^3+3c^2d+3cd^2+d^3)$
<=> $a^3+b^3+3ab(a+b) = -c^3-d^3-3cd(c+d)$
Mà $a+b = -(c+d)$
=> $a^3 +b^3-3ab(c+d) = -c^3-d^3-3cd(c+d)$
<=> $a^3+b^3+c^3+d^3 = 3ab(c+d)-3cd(c+d)$
<=> $a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(c+d)(ab-cd)$

Nếu anh pandahieu tìm ra

$xy=\dfrac{a^2-b}{2}$

thì em có cách này nhanh hơn :

$(x^2+y^2)(x+y)=ab$

$x^3+y^3+xy(x+y)=x^3+y^3 +\dfrac{a^2-b}{2}=ab$

$x^3+y^3=ab-\dfrac{a^2-b}{2}$

 

[pandahieu]

Nếu anh pandahieu tìm ra

$xy=\dfrac{a^2-b}{2}$

thì em có cách này nhanh hơn :

$(x^2+y^2)(x+y)=ab$

$x^3+y^3+xy(x+y)=x^3+y^3 +\dfrac{a^2-b}{2}=ab$

$x^3+y^3=ab-\dfrac{a^2-b}{2}$

$\boxed{3}$ Ta có $a+b+c=0$ \Rightarrow $(a+b+c)^2=0$

\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$

\Rightarrow $ab+bc+ca=\frac{-1}{2}$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)

\Rightarrow $(ab+bc+ca)^2=\frac{1}{4}$

\Rightarrow $(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c))=\frac{1}{4}$

\Rightarrow $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=\frac{1}{4}$ (Do $a+b+c=0$ )

Ta có: $(a^2+b^2+c^2)=a^4+b^4+c^4+2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]=1$

\Rightarrow $a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}$

 

[pandahieu]

$\boxed{3}$ Ta có $a+b+c=0$ \Rightarrow $(a+b+c)^2=0$

\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$

\Rightarrow $ab+bc+ca=\frac{-1}{2}$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)

\Rightarrow $(ab+bc+ca)^2=\frac{1}{4}$

\Rightarrow $(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c))=\frac{1}{4}$

\Rightarrow $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=\frac{1}{4}$ (Do $a+b+c=0$ )

Ta có: $(a^2+b^2+c^2)=a^4+b^4+c^4+2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]=1$

\Rightarrow $a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}$

$\boxed{4}$ a) Ta có $n=A^2+B^2$

\Rightarrow $2n=2A^2+2B^2=(A^2+2AB+B^2)+(A^2-2AB+B^2)=(A+B)^2+(A-B)^2$

b) $2n=C^2+D^2$

\Rightarrow $n=\dfrac{C^2}{2}+\dfrac{D^2}{2}=(\dfrac{C^2}{4}+2 \dfrac{CD}{4}+\dfrac{D^2}{4})+(\dfrac{C^2}{4}-2\dfrac{CD}{4}+\dfrac{D^2}{4})$

\Rightarrow $n=(\dfrac{C}{2}+\dfrac{D}{2})^2+(\dfrac{C}{2}-\dfrac{D}{2})^2$

 

[nvtsrndk]

b) $2n=C^2+D^2$

\Rightarrow $n=\dfrac{C^2}{2}+\dfrac{D^2}{2}=(\dfrac{C^2}{4}+2 \dfrac{CD}{4}+\dfrac{D^2}{4})+(\dfrac{C^2}{4}-2\dfrac{CD}{4}+\dfrac{D^2}{4})$

\Rightarrow $n=(\dfrac{C}{2}+\dfrac{D}{2})^2+(\dfrac{C}{2}-\dfrac{D}{2})^2$

Vì 2n là số chẵn nên phần đảo chỉ đúng khi 2n là tổng của 2 số chính phương chẵn hoặc tổng của hai số chính phương lẻ.

 

[huuthuyenrop2]

$\boxed{3}$ Ta có $a+b+c=0$ \Rightarrow $(a+b+c)^2=0$

\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$

\Rightarrow $ab+bc+ca=\frac{-1}{2}$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)

\Rightarrow $(ab+bc+ca)^2=\frac{1}{4}$

\Rightarrow $(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c))=\frac{1}{4}$

\Rightarrow $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=\frac{1}{4}$ (Do $a+b+c=0$ )

Ta có: $(a^2+b^2+c^2)=a^4+b^4+c^4+2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]=1$

\Rightarrow $a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}$

Cái bài này theo dạng này nè http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=311261