Toán 9 Chứng minh góc bằng nhau và tìm H để chu vi OCH đạt GTLN

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Lấy H bất kỳ thuộc OA (H khác O, A). Vẽ dây CD vuông góc AB tại H. Lấy M bất kỳ thuộc đoạn CH. Nối AM cắt (O) tại điểm thứ hai là E, 2 tia BE, DC cắt nhau tại F.
1) CMR H, M, E, B cùng thuộc 1 đường tròn. (đã làm)
2) Lấy Ex là tia đối ED. CMR [tex]\widehat{FEx}=\widehat{FEC}; MC.FD=FC.MD[/tex].
3) Tìm vị trí H trên OA sao cho chu vi tam giác OCH đạt GTLN.
Em xin cảm ơn!

 

[Blue Plus]

2.
$\widehat{FEx}=\widehat{BED}$
$\widehat{FEC}=\widehat{CAB}$ (do $ABEC$ là tứ giác nội tiếp).
Cần chứng minh $\widehat{BED}=\widehat{CAB}$, tức là cần chứng minh cung $BD=$ cung $BC\Leftrightarrow BD=BC$. Bạn tự chứng minh nhé.
Ta suy ra $EF$ là phân giác $\widehat{CEx}$
$MC.FD=FC.MD$ có thể viết lại là $\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{FC}{FD}$.
Để ý $EF$ là phân giác ngoài của $\widehat{CED}$ và $EM\perp EF$ nên $EM$ là phân giác trong. Áp dụng tính chất đường phân giác ta có được điều cần chứng minh.
3.
Cần tìm vị trí điểm $H$ để $OH+HC+CO$ đạt GTLN. Vì $CO=R=const$ nên cần tìm giá trị lớn nhất của $OH+HC$.
Ta có BĐT quen thuộc: $(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)$. Áp dụng ta có:
$(OH+HC)^2\le 2(OH^2+HC^2)=2R^2 \Rightarrow OH+HC\le \sqrt2R\Rightarrow OH+HC+CO\le (\sqrt2+1)R$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow OH=HC\Leftrightarrow \triangle OHC$ vuông cân tại $H\Rightarrow OH=\dfrac{\sqrt2}2R$.
Vậy khi $H$ nằm trên $OA$ sao cho $OH=\dfrac{\sqrt2}2R$ thì chu vi $\triangle OHC$ đạt GTLN.