1/ CMR
[tex]C_n^0 + \frac{2^2-1}{2}C_n^2 + \frac{2^3-1}{2}C_n^2+....+ \frac{2^{n+1} -1}{n+1}C_n^n= \frac{3^{n-1}-2^{n+1}}{n+1}[/tex]
Ta có[TEX] (1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3...+C_n^nx^n[/TEX]
[TEX]\int_{1}^{2}(1+x)^n dx=\int_{1}^{2}[/TEX][TEX](C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3...+C_n^nx^n)dx[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \int_{1}^{2}\frac{({1+x})^{n+1}}{n+1}=\int_{1}^{2}[/TEX][TEX](C_n^0x+C_n^1\frac{x^2}{2}+C_n^2\frac{x^3}{3}+C_n^3\frac{x^4}{4}+...+C_n^n[/TEX][TEX]\frac{{x}^{n+1}}{n+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{{3}^{n+1}}{n+1}-\frac{{2}^{n+1}}{n+1}=[/TEX][TEX]\int_{1}^{2}C_n^0x+\frac{1}{2}\int_{1}^{2}C_n^1x^2+\frac{1}{3}C_n^2x^3+...+[/TEX][TEX]\frac{1}{n+1}\int_{1}^{2}C_n^n{x}^{n+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{{3}^{n+1}-{2}^{n+1}}{n+1}=C_n^0+C_n^1\frac{2^2-1}{2}+C_n^2\frac{2^3-1}{3}+...+C_n^n\frac{{2}^{n+1}-1}{n+1}[/TEX]