Toán 9 Chứng minh $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$

[thangbebu1112004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và s là diện tích của tam giác đó . chứng minh [tex]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{s}}[/tex]
2. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và s là diện tích , p là nửa chu vi, h là chiều cao ứng với cạnh có độ dài là c. chứng minh [tex] 0,4<\frac{s}{p.h.c}< 0,5[/tex]

 

[Ann Lee]

1. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và S là diện tích của tam giác đó . chứng minh [tex]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}[/tex]

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên [tex]a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0[/tex]
Gọi $p$ là nửa chu vi của tam giác.
Ta có [tex]p-a=\frac{b+c-a}{2};p-b=\frac{c+a-b}{2};p-c=\frac{a+b-c}{2}[/tex]
BĐT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \frac{1}{2(p-c)}+\frac{1}{2(p-a)}+\frac{1}{2(p-b)}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}\\\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{\sqrt{S}}[/tex]
Ta có: [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] (Công thức Heron)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

• [tex](p-a)+(p-b)+(p-c)\geq 3\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}\\\Leftrightarrow p\geq 3\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}\\\Leftrightarrow \frac{p^3}{27}\geq (p-a)(p-b)(p-c)\\\Leftrightarrow \frac{p^4}{27}\geq p(p-a)(p-b)(p-c)=S^2\\\Rightarrow p\geq \sqrt[4]{27}.\sqrt{S}[/tex]
• [tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{p-a}.\frac{1}{p-b}.\frac{1}{p-c}}\\\Leftrightarrow \left (\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right )^3\geq \frac{27}{(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{27p}{S^2}\geq \frac{27.\sqrt[4]{27}.\sqrt{S}}{S^2}=\frac{27.\sqrt[4]{27}}{S\sqrt{S}}\\\Rightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{\sqrt{S}}(dpcm)[/tex]

Dấu = xảy ra khi [tex]p-a=p-b=p-c\Leftrightarrow a=b=c[/tex]