$a^{p-1}\equiv 1 (mod p)<=> a^{p-1}-1\vdots p <=> a^p-a \vdots p$ (1) (a,p) =1
Nếu a là số nguyên dương Ta giả sử (1) đúng với a=n. Ta có $n^p-n\vdots p$
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với a=n+1. Thật vậy:
$(n+1)^p-(n+1)= n^p+n^{p-1}+\frac{n(n-1)}{2!}n^{p-2}+...+\frac{n(n-1)}{2!}n^2+n+1$
Đặt $\underset{k}{C}^{p}= \frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}$
vì p là số nguyên tố nên $\frac{(p-1)...(p-k+1)}{k!}$ là số nguyên và $n^{p-k}$ cũng là số nguyên nên:
$p(n^{p-1}+\frac{p-1}{2!}.n^{p-2}+...+n)$ là số nguyên chia hết cho p.
Vậy ta có $$(n+1)^p-n-1= n^p+pm+1-n-1$$ (với m thuộc Z )
$= n^p-n+pm$ (dễ dàng thấy nó chia hết cho p)
*Nếu a là số nguyên âm.
+ p=2 => đúng
+p lẻ thì đặt $a^p-a= -b^p+b = -(b^p-b)\vdots p$ (với b là số nguyên dương, $a=-b$)
Vậy $a^p-a \vdots p$ với mọi $a\in Z$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
