Toán Chứng minh E là trực tâm tam giác

[Lạp Hộ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC, kẻ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Kẻ AD vuông góc với BC. AD cắt MN tại E. Chứng minh E là trực tâm tam giác ABC

 

[iceghost]

Lời giải. Gọi $F$ là giao điểm thứ hai của $AB$ và $(O)$, khi đó $CF \perp AB$. Dễ dàng chứng minh được $AMDO$ và $ANDO$ là các từ giác nội tiếp, suy ra $AMDON$ nội tiếp đường tròn. Ta có $\widehat{ANM} = \widehat{ADM}$, mà $\widehat{ANM} = \widehat{AMN}$ bởi $\triangle{AMN}$ cân tại $A$ ($AM = AN$ do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $\widehat{AMN} = \widehat{ADM}$. Từ đây ta chứng minh được $\triangle{AME} \sim \triangle{ADM}$ theo trường hợp g-g, dẫn đến $\frac{AM}{AD} = \frac{AE}{AM}$ hay $AM^2 = AD \cdot AE$. Lại có $AM^2 = AF \cdot AB$ nên suy ra $AD \cdot AE = AF \cdot AB$. Tiếp tục chứng minh được $\triangle{AEF} \sim \triangle{ABD}$ theo trường hợp c-g-c nên ta có $\widehat{AFE} = \widehat{ADB} = 90^\circ$. Từ đó suy ra $EF \perp AB$, dẫn đến $C, E, F$ thẳng hàng. Khi đó, dễ thấy $E$ là trực tâm của $\triangle{ABC}$