Toán 11 Chứng minh đt đi qua trung điểm

[khanhduytili1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của Bc. E là giao điểm của đường thẳng A0 và BC, F (F khác A) là giao điểm thứ hai của (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AME, N(N khác A) là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và (O). Chứng minh rằng đường thăng FN đi qua trung điểm của MD.
Giúp mình bài này với ạ

 

[7 1 2 5]

Giả sử FN cắt MD tại I, AE cắt (O) tại điểm thứ 2 là G.
Ta chứng minh được [TEX]\Delta FGE \sim \Delta FNM \Rightarrow \widehat{MFN}=\widehat{EFG}[/TEX]
Từ đó [TEX]\widehat{MFN}=\widehat{EFG}=90^o-\widehat{AFE}=90^o-\widehat{MNC}=\widehat{IMN} \Rightarrow IM^2=IN.IF[/TEX]
Gọi giao điểm của AF với BC là H.
Khi đó [TEX]HM.HE=HA.HF=HB.HC[/TEX]. Vì M là trung điểm BC nên theo hệ thức Maclaurin ta có [TEX](BC,EH)=-1 \Rightarrow A(BC,EH)=-1 \Rightarrow (BC,FG)=-1 \Rightarrow FBGC[/TEX] là tứ giác điều hòa.
Từ đó [TEX]F,G,D[/TEX] thẳng hàng.
Nhận thấy [TEX]OM.MD=MB.MC=MA.MN[/TEX] nên AOND nội tiếp, suy ra [TEX]\widehat{IDN}=\widehat{MAO}=\widehat{NFG} \Rightarrow ID^2=IF.IN \Rightarrow ID=IM[/TEX]
Hình gửi kèm:

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.