Toán 11 Chứng minh đồng phẳng

[Nguyễn Hương Trà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ diện ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Một mặt phẳng (Q) qua IK cắt BC và AD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng [tex]\overrightarrow{AB};\overrightarrow{EF};\overrightarrow{CD}[/tex] đồng phẳng.

 

[iceghost]

Cho tứ diện ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Một mặt phẳng (Q) qua IK cắt BC và AD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng [tex]\overrightarrow{AB};\overrightarrow{EF};\overrightarrow{CD}[/tex] đồng phẳng.

Ta có $IE = (Q) \cap (ABD)$, $BD = (ABD) \cap (CBD)$, $FK = (CBD) \cap (Q)$, do đó $IE, BD, FK$ đồng quy hoặc đôi một song song. Ta chỉ xét TH chúng đồng quy tại $J$
Sử dụng định lý $Menelaus$ (hoặc bạn CM bằng cách khác) được $\dfrac{IB}{IA} \cdot \dfrac{EA}{ED} \cdot \dfrac{ID}{IB} = 1$, suy ra $\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{IB}{ID}$ do $IB = IA$
Tương tự ta cũng có $\dfrac{FB}{FC} = \dfrac{IB}{ID} = \dfrac{EA}{ED}$, đặt $\dfrac{FB}{BC} = \dfrac{EA}{AD} = x$. Để ý $(1-x) EA = x ED$ nên $(1-x) \vec{EA} + x\vec{ED} = 0$ (ngược hướng)
Ta có $\vec{EF} = x \vec{EC} + (1-x) \vec{EB} = x\vec{ED} + x\vec{DC} + (1-x) \vec{EA} + (1-x) \vec{AB} = x\vec{DC} + (1-x) \vec{AB}$
Do đó $\vec{EF}, \vec{DC}, \vec{AB}$ đồng phảng