Toán 10 Chứng minh định lý Ceva-nest

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 6. (Định lí Ceva Nest) Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự lấy các điểm D, E, F, sao cho AD, BE, CF , đồng quy. Lấy X, Y, Z , trên các cạnh EF, FD, DE. Chứng minh rằng DX, EY, FZ đồng quy khi và chỉ khi AX, BY, CZ, đồng quy.

 

[7 1 2 5]

Ta có: [imath]\dfrac{\sin FAX}{\sin EAX}=\dfrac{\sin FAX}{\sin AXF} \cdot \dfrac{\sin AXE}{\sin EAX}=\dfrac{FX}{AF} \cdot \dfrac{AE}{EX}=\dfrac{FX}{EX} \cdot \dfrac{AE}{AF}[/imath]
Tương tự ta nhân vế theo vế được:
[imath]\dfrac{\sin FAX}{\sin EAX} \cdot \dfrac{\sin ECZ}{\sin DCZ} \cdot \dfrac{\sin DBZ}{\sin FBZ}=(\dfrac{AE}{AF} \cdot \dfrac{BF}{BD} \cdot \dfrac{CD}{CE}) \cdot (\dfrac{FX}{EX} \cdot \dfrac{EY}{DY} \cdot \dfrac{DZ}{FZ})[/imath]
Vì [imath]AD,BE,CF[/imath] đồng quy nên [imath]\dfrac{AE}{AF} \cdot \dfrac{BF}{BD} \cdot \dfrac{CD}{CE}=1[/imath].
[imath]\Rightarrow \dfrac{\sin FAX}{\sin EAX} \cdot \dfrac{\sin ECZ}{\sin DCZ} \cdot \dfrac{\sin DBZ}{\sin FBZ}=\dfrac{FX}{EX} \cdot \dfrac{EY}{DY} \cdot \dfrac{DZ}{FZ}[/imath]
Từ đẳng thức ta thấy định lý đúng theo định lý Ceva và định lý Ceva-sin.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Đề thi ôn tập chọn HSGQG