Chứng minh $\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2 } \ge \dfrac{3}{2}$

[anhmaidang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr: $\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \ge \dfrac{3}{2}$

Bulagarian TST 2003 (^_^)

 

[thinhrost1]

Áp dụng BDT cauchy liên tiếp, ta có:

$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2 }=\sum (a-\dfrac{ab^2}{1+b^2})\geq 3-\sum (\dfrac{ab}{2})\geq 3-\dfrac{\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=\dfrac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1$