Toán 9 Chứng minh DE là tiếp tuyến của (O)

[Vinhtrong2601]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và 1 điểm A sao cho OA = R. căn 2. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC vời đường tròn. Một góc xOy = 45 độ cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) [tex]\frac{2}{3}[/tex]R < DE < R
Mọi người giúp mình nhé!

 

[Blue Plus]

Một góc xOy = 45 độ cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.

Cái này mình tạm sửa lại là đoạn thẳng bởi nếu đường thẳng thì ý b không đúng.
a.
Ta chứng minh được $ABOC$ là hình vuông có cạnh bằng $R$.
Lấy điểm $K$ đối xứng với $B$ qua $OD\Rightarrow OK=OB=R;DB=DK;\widehat{BOD}=\widehat{KOD}$
Ta có $\widehat{BOD}<\widehat{BOA}=45^{\circ}$ do đó $\widehat{DOK}<45^{\circ}=\widehat{DOE}$ nên tia $OK$ nằm giữa hai tia $OD,OE$.
Có $\widehat{COE}=45^{\circ}-\widehat{BOD}=45^{\circ}-\widehat{KOD}=\widehat{KOE}$
$\Rightarrow \triangle OCE =\triangle OKE\Rightarrow \widehat{EKO}=\widehat{ECO}=90^{\circ}$
Ta có $\widehat{DKE}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$ nên $D,K,E$ thẳng hàng. Mà $DE\perp OK,OK=R$ nên $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b.
Đặt $DK=DB=a;EK=EC=b\Rightarrow DE=a+b$.
Xét $\triangle ADE$ ta có:
$(a+b)^2=(R-a)^2+(R-b)^2\Leftrightarrow 2ab=2R[R-(a+b)]$
Vì $2ab>0\Rightarrow 2R[R-(a+b)]>0\Rightarrow R>a+b=DE$.
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
$BD+DK>BK,CE+EK>CK,BK+CK>BC=\sqrt2R$
Suy ra $2DE=BD+DK+CE+EK>BK+CK>BC=\sqrt2R\Rightarrow DE>\dfrac{\sqrt2}2R>\dfrac23R$