chứng minh dãy hội tụ

[baolangxa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho dãy U(n)thoả mãn
u1=1:u2=2
U(n+1)=Un+U(n-1) với n\geq2
đãy số Xn xác đỉnh bởi Xn=1/U(k) chứng minh dãy Xn hội tụ

 

[noinhobinhyen]

Bằng quy nạp ta chứng minh được $u_n\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{n-1},\forall n\geq 1. (1)$
Từ đó suy ra:
$x_n\leq \sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{2}{3}\right)^{i} }<3,\forall n.$
Ta được $(x_n)$ là dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ.

--
Chứng minh $(1)$.
Dễ thấy $(1)$ đúng với $n\leq 2$.
Giả sử $(1)$ đúng đến $n=k$. Khi đó:
$u_{k+1}=u_k+u_{k-1}\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{k-1}+\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}\left( \frac{3}{2}+1\right)=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}.\frac{5}{2}>\left( \frac{3}{2}\right)^k$.
Do đó $(1)$ đúng với $n=k+1$.
Theo nguyên lý quy nạp, $(1)$ đúng với mọi $n\geq 1$.