Toán 9 Chứng minh dãy biểu thức lớn hơn [tex]\frac{1}{4}[/tex] và nhỏ hơn [tex]\frac{1}{3}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{4}<\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<\frac{1}{3}[/tex]
Thanks

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=x^2-2[/tex]
Ta cần chứng minh [tex]\frac{1}{4}< \frac{2-x}{2-(x^2-2)}=\frac{2-x}{4-x^2}=\frac{1}{2+x}< \frac{1}{3}\Leftrightarrow 3< 2+x< 4\Leftrightarrow 1< x< 2[/tex]
Ta thấy: [tex]x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}=2;x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}> \sqrt{2}> 1[/tex]